[论文解读] Justification Logics in a Fuzzy Setting

Meghdad Ghari|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2014

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 9被引用 9

一句话总结

本文通过将基于 t-范数的模糊逻辑（如 Łukasiewicz、Gödel、乘积逻辑和理性 Pavelka 逻辑）整合到证明逻辑中，提出了模糊证明逻辑，实现了对具有分级确定性（取值于 [0,1]）的证明的推理。该文为所有系统建立了 soundness，且在理性 Pavelka 扩展中证明了分级风格的完备性定理，为认识论推理中不确定的、分级的证据提供了形式化框架。

ABSTRACT

Justification Logics provide a framework for reasoning about justifications and evidences. Most of the accounts of justification logics are crisp in the sense that agent's justifications for a statement is convincing or is not. In this paper, we study fuzzy variants of justification logics, in which an agent can have a justification for a statement with a certainty degree between 0 and 1. We replaced the classical base of the justification logics with some known fuzzy logics: Hajek's basic logic, Łukasiewicz logic, Gödel logic, product logic, and rational Pavelka logic. In all of the resulting systems we introduced fuzzy models (fuzzy possible world semantics with crisp accessibility relation) for our systems, and established the soundness theorems. In the extension of rational Pavelka logic we also proved a graded-style completeness theorem.

研究动机与目标

• 将经典证明逻辑扩展为基于模糊逻辑框架的系统，以建模具有 [0,1] 真值度的不确定证明。
• 为模糊证明逻辑开发具有清晰可达关系的模糊可能世界语义。
• 基于 Hajek 的基础逻辑、Łukasiewicz 逻辑、Gödel 逻辑、乘积逻辑和理性 Pavelka 逻辑，为模糊证明逻辑建立 soundness 定理。
• 研究在理性 Pavelka 逻辑扩展中是否存在分级完备性。

提出的方法

• 用基于 t-范数的模糊逻辑（包括 Łukasiewicz、Gödel、乘积和理性 Pavelka 逻辑）替换证明逻辑的经典命题基础。
• 使用清晰的可达关系和将公式在可能世界上的真值度赋值为 [0,1] 的模糊赋值函数来定义模糊模型。
• 引入公式 $t:A$，其解释为“t 是 A 的证据，其确定度在 [0,1] 之间”，从而允许部分证明强度。
• 将 Mkrtychev 风格的模型适配到模糊 Fitting 语义中，确保在 t-范数下实现真值函数的评估。
• 通过验证所有公理和规则均保持真值度，证明所有模糊证明逻辑系统的 soundness。
• 在理性 Pavelka 逻辑扩展中证明一个分级风格的完备性定理，其中公式的真值度基于可证明性进行赋值。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将证明逻辑扩展以处理具有分级确定性而非二元真值的不确定证明？
• RQ2 何种适当的模糊语义适用于证明逻辑，以保持证明项和证据的直观含义？
• RQ3 能否为基于 t-范数模糊逻辑（如 Łukasiewicz、Gödel 和乘积逻辑）的模糊证明逻辑建立 soundness？
• RQ4 证明逻辑的理性 Pavelka 逻辑扩展是否允许存在一个分级风格的完备性定理？
• RQ5 在具有真值度的模糊环境中，标准证明原理（如自反性 $t:A \rightarrow A$）如何表现？

主要发现

• 本文成功通过将证明逻辑的经典基础替换为基于 t-范数的模糊逻辑，构建了模糊证明逻辑，从而实现了对具有 [0,1] 真值度的证明的推理。
• 为所有模糊证明逻辑系统（包括基于 Łukasiewicz、Gödel、乘积和理性 Pavelka 逻辑的系统）建立了 soundness 定理。
• 在理性 Pavelka 逻辑扩展中，证明了分级风格的完备性定理，建立了可证明性与真值度之间的联系。
• 公式 $t:_{r}A$ 解释为“t 是 A 的证明，其确定度至少为 r”，并引入了类似变体 $t:^{r}A$ 和 $t\overset{r}{:}A$ 分别表示上界和精确边界。
• 在具有自反可达关系的模糊 Fitting 模型中，自反性公理 $t:A \rightarrow A$ 有效，因为 $t:A$ 的真值度始终 ≤ $A$ 的真值度。
• 在具有串行可达关系的模型中，一致性公理 $\neg t:\bar{0}$ 有效，确保没有任何证明能以完全确定性支持矛盾。