[论文解读] $K_0$ of purely infinite simple regular rings

Pere Ara, K. R. Goodearl+1 more|ArXiv.org|Nov 6, 2001

Advanced Operator Algebra Research参考文献 18被引用 33

一句话总结

本文在代数背景下引入了纯粹无限单环的概念，将其扩展自Cuntz在C*-代数中的定义。研究证明，此类环的Grothendieck群 $K_0$ 满足 $K_0(R)^+ = K_0(R)$，并通过自由代数的普遍局部化构造了显式例子，证明了每个可数阿贝尔群均可作为某个纯粹无限单正则环的 $K_0$ 实现。

ABSTRACT

We extend the notion of a purely infinite simple C*-algebra to the context of unital rings, and we study its basic properties, specially those related to K-Theory. For instance, if $R$ is a purely infinite simple ring, then $K_0(R)^+= K_0(R)$, the monoid of isomorphism classes of finitely generated projective $R$-modules is isomorphic to the monoid obtained from $K_0(R)$ by adjoining a new zero element, and $K_1(R)$ is the abelianization of the group of units of $R$. We develop techniques of construction, obtaining new examples in this class in the case of von Neumann regular rings, and we compute the Grothendieck groups of these examples. In particular, we prove that every countable abelian group is isomorphic to $K_0$ of some purely infinite simple regular ring. Finally, some known examples are analyzed within this framework.

研究动机与目标

• 将纯粹无限单C*-代数的概念推广至单位环，同时保持关键的K-理论性质。
• 发展新的代数技术，用于构造纯粹无限单正则环的显式例子。
• 计算这些环的Grothendieck群 $K_0$，并证明任意可数阿贝尔群均可作为 $K_0(R)$ 实现。
• 建立已知构造（如Schofield和Rosenmann-Rosset）与新的普遍局部化构造之间的同构关系。

提出的方法

• 通过推广Cuntz在C*-代数中的条件，定义纯粹无限单环，确保不存在非零的有限投影。
• 使用普遍局部化技术，将特定右 $R$-模同态 $R \to R^{n+1}$（由列向量 $(x_0, \dots, x_n)^T$ 的左乘给出）进行逆化。
• 将代数构造为Leavitt代数 $V_{1,n}$ 的扩张，其基为在斜导子下封闭的非交换幂级数子环。
• 使用带有自由独立变元的斜多项式环作为处理非交换关系的技术工具。
• 通过具有指定 $K_0$ 群及相容同态的代数的归纳极限，实现任意可数阿贝尔 $K_0$ 群。
• 利用Morita等价性和角落环技巧，将保持 $K_0$ 的映射的分量嵌入目标代数中。

实验结果

研究问题

• RQ1 纯粹无限单性概念能否在C*-代数之外有意义地推广至一般单位环？
• RQ2 纯粹无限单环的 $K_0$ 和 $K_1$ 群是否遵循与C*-代数情形相同的结构模式？
• RQ3 每个可数阿贝尔群是否均可作为某个纯粹无限单正则环的 $K_0$ 实现？
• RQ4 Schofield和Rosenmann-Rosset等已知构造是否同构于自由代数的普遍局部化所得到的代数？
• RQ5 普遍局部化与斜导子在构造具有预设 $K_0$ 群的环中起什么作用？

主要发现

• 通过具有指定 $K_0$-保持映射的代数的归纳极限，证明了每个可数阿贝尔群均可作为某个纯粹无限单正则 $k$-代数 $R$ 的 $K_0(R)$ 实现。
• 当从 $V_{1,n}$ 类型扩张构造时，所构造代数的 $K_0$ 群总是阶为 $n$ 的循环群。
• 当 $K_0$ 为有限循环群时，这些环上的有限生成投影模均为自由模。
• 通过非交换幂级数子环的普遍局部化所构造的代数，与Schofield和Rosenmann-Rosset的构造同构，从而确立了两种等价的构造方式。
• 有限生成投影模的同构类的幺半群同构于附上零元后的 $K_0(R)$。
• 纯粹无限单环的 $K_1$ 群是其单位群的阿贝尔化。