[论文解读] K_1 of some Iwasawa algebras

Mahesh Kakde|arXiv (Cornell University)|May 22, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文利用 Oliver 与 Taylor 的积分对数，计算了一维紧致 $p$-进李群 $\mathcal{G}$（其商群同构于 $\mathbb{Z}_p$）的 Iwasawa 代数的 Whitehead 群 $K_1$。研究建立了一个将 $K_1(\Lambda_O(\mathcal{G}))$ 与 $\mathcal{G}$ 的单位群及交换化群联系起来的正合序列，并证明了在 Ore 集 $S$ 处的局部化保持了关键的结构性质，从而推广了 Kato 与 Hara 的早期结果。

ABSTRACT

Noncommutative Iwasawa theory has created a lot of interest in Whitehead groups of Iwasawa algebras of compact p-adic Lie groups with a quotient isomorphic to the additive group of p-adic integers. In this paper we compute Whitehead groups of Iwasawa algebra of a pro-p compact p-adic Lie group of dimension one. We also give results on Whitehead groups of the localisation of such Iwasawa algebras at the canonical Ore set defined by Coates, Fukaya, Kato, Sujatha and Venjakob.

研究动机与目标

• 描述一维紧致 $p$-进李群 $\mathcal{G}$ 的 Whitehead 群 $K_1(\Lambda_O(\mathcal{G}))$，其中 $\mathcal{G}/H \cong \mathbb{Z}_p$。
• 将 Kato、Hara 与 Kakde 关于 Iwasawa 代数 $K_1$ 的结果推广至该类群。
• 通过 Coates 等人定义的 Ore 集 $S$，分析局部化 Iwasawa 代数 $\Lambda_O(\mathcal{G})_S$ 的结构。
• 利用积分对数作为关键工具，建立一个涉及 $K_1$、单位群与 $\mathcal{G}$ 交换化群的正合序列。

提出的方法

• 利用对称 2-上循环 $\tau$，将 Iwasawa 代数 $\Lambda_O(\mathcal{G})$ 表示为扭曲群环 $\Lambda_O(\Gamma^{p^e})[G]^\tau$。
• 将 Ore 集 $S$ 定义为所有满足 $\Lambda_O(\mathcal{G})/\Lambda_O(\mathcal{G})f$ 是 $O$-模上有限生成的元素 $f$ 的集合。
• 通过扭曲群环中元素的对数及 $\beta^G$-映射的像，构造积分对数映射 $\mathcal{L}: \Phi^G \to \psi^G$。
• 利用包含 $\theta^G$、$\beta^G$ 与 $\mathcal{L}$ 的交换图，将 $K_1(\Lambda_O(\mathcal{G}))$ 与单位群及交换化群联系起来。
• 证明在 $T = \Lambda_O(\Gamma^{p^e}) \setminus p\Lambda_O(\Gamma^{p^e})$ 处的局部化 $\Lambda_O(\mathcal{G})_T$ 同构于 $\Lambda_O(\mathcal{G})_S$，从而可应用局部化技巧。
• 对包含 $K_1$、$\theta^G$、$\beta^G$ 与 $\mathcal{L}$ 的交换图应用五引理，推导出涉及 $K_1$ 的正合序列。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于满足 $\mathcal{G}/H \cong \mathbb{Z}_p$ 的一维紧致 $p$-进李群 $\mathcal{G}$，$K_1(\Lambda_O(\mathcal{G}))$ 的结构是什么？
• RQ2 Oliver 与 Taylor 的积分对数如何与 Iwasawa 代数的 $K_1$-群相关联？
• RQ3 $\theta^G: K_1(\Lambda_O(\mathcal{G})) \to \Lambda_O(\Gamma^{p^e})[\mathrm{Conj}(G)]^\tau$ 的像是什么？
• RQ4 在 Ore 集 $S$ 处的局部化如何影响 $K_1$ 与 Iwasawa 代数单位群的结构？
• RQ5 对于相关 Ore 集 $T$，局部化映射 $\Lambda_O(\mathcal{G})_T \to \Lambda_O(\mathcal{G})_S$ 是否为同构？

主要发现

• 映射 $\theta^G: K_1(\Lambda_O(\mathcal{G})) \to \Lambda_O(\Gamma^{p^e})[\mathrm{Conj}(G)]^\tau$ 的像是 $\beta^G$ 的像，且其核同构于 $\mu(O) \times \mathcal{G}^{ab}$。
• 正合序列 $1 \to \mu(O) \times \mathcal{G}^{ab} \to \Phi^G \xrightarrow{\mathcal{L}} \psi^G \xrightarrow{\omega} \langle(-1)^{p-1}\rangle \times \mathcal{G}^{ab} \to 1$ 成立，其中 $\mathcal{L}$ 由积分对数定义。
• $T = \Lambda_O(\Gamma^{p^e}) \setminus p\Lambda_O(\Gamma^{p^e})$ 处的局部化 $\Lambda_O(\mathcal{G})_T$ 同构于 $\Lambda_O(\mathcal{G})_S$，因此 $S$-局部化等价于 $T$-局部化。
• $\theta^G_S$ 在 $\Phi^G_S$ 中的像是包含于 $\Phi^G_S$，且 $\Phi^G_S \cap \prod_{P \in C(G)} \Lambda_O(U_P)^\times = \mathrm{Im}(\theta^G)$，表明其与局部化相容。
• 对包含 $K_1$、$\theta^G$、$\beta^G$ 与 $\mathcal{L}$ 的交换图应用五引理，证明 $K_1(\Lambda_O(\mathcal{G}))$ 同构地映射到 $\omega \circ \mathcal{L}$ 的核。
• 该结果推广了 Kato 与 Hara 的早期工作，将 $K_1$-计算推广至所有满足 $\mathcal{G}/H \cong \mathbb{Z}_p$ 的一维 $p$-进李群。