[论文解读] k-apices of minor-closed graph classes. II. Parameterized algorithms

Ignasi Sau, Giannos Stamoulis+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2020

Advanced Graph Theory Research被引用 14

一句话总结

本文提出了一种固定参数可追踪算法，用于判断一个图是否为某个排除小图的图类的 k-apex 图，其时间复杂度为 $2^{\text{poly}(k)} \cdot n^3$；当图类不包含 apex 图作为小图时，运行时间可改进为 $2^{\text{poly}(k)} \cdot n^2$。该方法结合了迭代压缩、无关顶点技术以及结构图论，包括平坦墙和分支论证，以在参数复杂度框架内高效求解该问题。

ABSTRACT

Let ${\\cal G}$ be a minor-closed graph class. We say that a graph $G$ is a $k$-apex of ${\\cal G}$ if $G$ contains a set $S$ of at most $k$ vertices such that $G\\setminus S$ belongs to ${\\cal G}$. We denote by ${\\cal A}_k ({\\cal G})$ the set of all graphs that are $k$-apices of ${\\cal G}.$ In the first paper of this series we obtained upper bounds on the size of the graphs in the minor-obstruction set of ${\\cal A}_k ({\\cal G})$, i.e., the minor-minimal set of graphs not belonging to ${\\cal A}_k ({\\cal G}).$ In this article we provide an algorithm that, given a graph $G$ on $n$ vertices, runs in $2^{{\\sf poly}(k)}\\cdot n^3$-time and either returns a set $S$ certifying that $G \\in {\\cal A}_k ({\\cal G})$, or reports that $G \ otin {\\cal A}_k ({\\cal G})$. Here ${\\sf poly}$ is a polynomial function whose degree depends on the maximum size of a minor-obstruction of ${\\cal G}.$ In the special case where ${\\cal G}$ excludes some apex graph as a minor, we give an alternative algorithm running in $2^{{\\sf poly}(k)}\\cdot n^2$-time.

研究动机与目标

• 开发一种参数化算法，用于判断给定图是否为某个排除小图的图类的 k-apex 图，即判断删除至多 k 个顶点后是否能得到该类中的图。
• 在时间复杂度为 $2^{\text{poly}(k)} \cdot n^3$ 的条件下实现该目标，其中多项式部分依赖于图类的排除小图集合的大小。
• 当图类不包含 apex 图作为小图时，将运行时间改进为 $2^{\text{poly}(k)} \cdot n^2$。
• 提供一个适用于排除小图设定下广泛图修改问题的通用框架。

提出的方法

• 使用迭代压缩将 k-apex 问题转化为压缩版本，假设存在大小至多为 k 的解集。
• 利用无关顶点技术，基于平坦墙的结构特性，识别并移除不影响解存在的顶点。
• 应用平坦墙定理，将图分解为结构化形式，以支持高效的分支与约简。
• 利用关于同质墙和绘画的组合结果，识别平坦墙结构及其表现形式。
• 当图避免大团小图时，在小宽度的树分解上使用动态规划。
• 结合这些技术与一种分支策略，利用排除小图集合的有界大小来限制搜索空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否设计一种固定参数可追踪算法，用于排除小图图类中的 k-apex 问题，且时间复杂度为 $2^{\text{poly}(k)} \cdot n^3$？
• RQ2 在何种条件下可将运行时间改进为 $2^{\text{poly}(k)} \cdot n^2$？
• RQ3 如何在排除小图图类和平坦墙结构的背景下有效应用无关顶点技术？
• RQ4 平坦墙定理和树分解在支持 k-apex 问题高效参数化算法中起到什么作用？
• RQ5 该算法框架能否推广到排除小图设定下的其他图修改问题？

主要发现

• 本文提出了一种算法，可在 $2^{\text{poly}(k)} \cdot n^3$ 时间内求解 k-apex 问题，其中多项式次数依赖于图类中排除小图的最大大小。
• 对于不包含 apex 图作为小图的图类，该算法的运行时间为 $2^{\text{poly}(k)} \cdot n^2$，时间复杂度较之前提升了一个线性因子。
• 该算法使用迭代压缩将问题转化为压缩版本，再通过无关顶点技术与平坦墙分解的结合求解。
• 通过平坦墙的结构分解，算法可避免处理大团小图，从而支持在小宽度树分解上进行高效的动态规划。
• 该方法依赖于有界的页数和受控的分支过程，确保指数依赖仅作用于 k 和图类参数。
• 该结果建立了一个通用框架，用于在排除小图图类中高效求解 k-apex 问题，具有强大的参数化效率。