[论文解读] k-Boson Quantum Walks Do Not Distinguish Arbitrary Graphs

Jamie Smith|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2010

Quantum and electron transport phenomena参考文献 1被引用 10

一句话总结

本文证明了无论k为何值，k-费米子量子行走都无法区分所有非同构图。通过引入基于胞腔代数的k-等价性，作者证明：若两图k-等价，则其k-费米子行走产生的格林函数完全相同，因而无法区分。该结果对Gamble等人关于相互作用k-费米子行走是否能解决所有图的同构问题提出了否定回答。

ABSTRACT

In this paper, we define k-equivalence, a relation on graphs that relies on their associated cellular algebras. We show that a k-Boson quantum walk cannot distinguish pairs of graphs that are k- equivalent. The existence of pairs of k-equivalent graphs has been shown by Ponomarenko et al. [2, 6]. This gives a negative answer to a question posed by Gamble et al. [7].

研究动机与目标

• 确定相互作用的k-费米子量子行走是否能区分所有非同构图对。
• 通过胞腔代数作为结构不变量，定义并分析图的k-等价性。
• 证明k-等价图在k-费米子行走下产生完全相同的格林函数，意味着它们不可区分。
• 解决Gamble等人提出的问题：k-费米子行走是否能将图同构问题置于P类中。

提出的方法

• 通过与图相关联的胞腔代数的弱同构定义k-等价性。
• 使用邻接矩阵的对称张量积和基于位置的相互作用项构造k-费米子哈密顿量。
• 利用图同构在张量积空间上的诱导作用，将k-等价图之间的哈密顿量相互映射。
• 证明幺正演化算符（U = exp(-itH)）在k-等价性下保持不变，从而意味着格林函数完全相同。
• 利用Barghi（2009）和Evdokimov（1999）已知的k-等价图构造方法，证明对所有k均存在此类图对。
• 应用胞腔代数框架，将2-费米子行走的结果推广至k-费米子行走。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意有限k，相互作用的k-费米子量子行走是否能区分所有非同构图？
• RQ2 图的哪些结构不变量在k-费米子量子行走下保持不变？
• RQ3 通过胞腔代数定义的k-等价图是否在k-费米子行走中产生相同的格林函数？
• RQ4 使用多粒子量子行走解决图同构问题是否存在根本性限制？
• RQ5 胞腔代数及其弱同构与量子行走下图的可区分性之间有何关系？

主要发现

• 对于任意k ≥ 1，均存在在胞腔代数框架下k-等价的非同构图。
• k-等价图在k-费米子量子行走下产生完全相同的格林函数，意味着它们无法被该行走区分。
• k-费米子哈密顿量在k-等价性下协变变换，保持幺正演化，从而保持可观测量结果不变。
• 由于无法区分k-等价的非同构图，相互作用的k-费米子行走无法普遍解决图同构问题。
• 该结果推广了先前关于2-费米子行走的研究结果，并确认该方法无法将图同构问题置于P类。
• Barghi（2009）和Evdokimov（1999）构造的k-等价图对对所有k均成立，证明了此类图对的存在性。