[论文解读] k-Disjunctive cuts and a finite cutting plane algorithm for general mixed integer linear programs

Markus Jörg|ArXiv.org|Jul 26, 2007

Vehicle Routing Optimization Methods被引用 6

一句话总结

本文引入了k-析取割线——基于多术语析取式的分裂割线的推广——以实现一般混合整数线性规划（MILP）的有限割平面算法。通过将k-析取割线与Gomory混合整数割线结合，作者建立了一个有限收敛算法，解决了传统分裂割线方法在一般MILP中缺乏有限收敛性的问题。

ABSTRACT

In this paper we give a generalization of the well known split cuts of Cook, Kannan and Schrijver to cuts which are based on multi-term disjunctions. They will be called k-disjunctive cuts. The starting point is the question what kind of cuts is needed for a finite cutting plane algorithm for general mixed integer programs. We will deal with this question in detail and derive cutting planes based on k-disjunctions related to a given cut vector. Finally we will show how a finite cutting plane algorithm can be established using these cuts in combination with Gomory mixed integer cuts.

研究动机与目标

• 解决一般混合整数线性规划（MILP）中缺乏有限割平面算法的问题，其中分裂割线无法保证有限收敛。
• 研究多术语析取式（k-析取式）是否能为MILP生成强于传统分裂割线的割线。
• 通过将k-析取割线与Gomory混合整数割线结合，开发一个有限割平面算法。
• 提供一种从给定割向量和对偶锥的极射线构造k-析取割线的构造性方法。
• 证明k-析取割线可在有限步内捕捉整数包络，即使仅使用分裂割线无法实现。

提出的方法

• 将k-析取割线定义为从形如 $\bigvee_{i=1}^k (d_i^T x \leq \delta_i \vee d_i^T x \geq \delta_i + 1)$ 的k项析取式导出的有效不等式，从而推广分裂割线。
• 通过多面体 $P$ 在整数变量上的投影 $\mathrm{proj}_X(P)$ 分析整数包络 $P_I$ 的结构。
• 通过对偶锥 $Q = \{v \in \mathbb{R}^m : G^T v = 0, v \geq 0\}$ 及其极射线 $v^r$ 构造k-析取割线。
• 采用带有最小索引规则的字典序单纯形法进行割线生成，以确保有限收敛。
• 将k-析取割线与Gomory混合整数割线结合，确保有限终止，特别是在最优目标值为整数时。
• 在整数规划（ILP）情况下，对目标函数向量应用Chvátal-Gomory过程以生成割线，退化为标准Gomory割线。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于多术语析取式的k-析取割线是否能确保一般MILP割平面算法的有限收敛？
• RQ2 整数包络 $P_I$ 和多面体 $P$ 的哪些结构特性使得k-析取割线在分裂割线失效时成为必要？
• RQ3 如何从给定割向量和对偶锥 $Q$ 的极射线系统性地生成k-析取割线？
• RQ4 在何种条件下，k-析取割线与Gomory混合整数割线的结合能产生有限割平面算法？
• RQ5 k-析取割线在多大程度上推广了已知割线，如分裂割线、混合整数规划舍入割线和Gomory割线？

主要发现

• k-析取割线通过允许多术语析取式推广了分裂割线，能够生成强于传统分裂割线的割线。
• 本文通过将k-析取割线与Gomory混合整数割线结合，为一般MILP构造了一个有限割平面算法。
• 在整数规划（ILP）情况下，对目标函数的k-析取割线退化为Chvátal-Gomory割线，从而恢复标准Gomory算法。
• 当最优目标值为整数且使用带有最小索引规则的字典序单纯形法时，可实现有限收敛。
• 对偶锥 $Q$ 的极射线数 $|R|$ 呈指数增长，使k-析取割线的计算在实践中具有挑战性。
• 该算法将MILP解释为在 $P$ 的 $p$-维面族上求解多个离散子问题，从而解释了为何需要基于指数数量析取超平面的割线。