[论文解读] k-Hilfer-Prabhakar Fractional Derivatives and Applications

Satish K. Panchal, Amol D. Khandagale+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2016

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 3被引用 15

一句话总结

本文引入了 k-Hilfer-Prabhakar 分数阶导数及其正则化版本，利用 k-Mittag-Leffler 函数对现有的分数阶微积分框架进行了推广。推导了这些算子的拉普拉斯变换和 Sumudu 变换，并将其应用于求解物理学中的非齐次柯西型问题，得到了涉及广义 k-Mittag-Leffler 函数的显式解，从而扩展了 Hilfer-Prabhakar 和 k-Prabhakar 微积分的现有结果。

ABSTRACT

In this paper we define the regularized version of k-Prabhakar fractional derivative, k-Hilfer-Prabhakar fractional derivative, regularized version of k-Hilfer-Prabhakar fractional derivative and find their Laplace and Sumudu transforms. Using these results, the relation between k-Prabhakar fractional derivative and its regularized ver- sion involving k-Mittag-Leffler function is obtained. Similarly the relation between k-Hilfer-Prabhakar fractional derivative and its regularized version is also obtained. Further, we find the solutions of some problems in physics in which k-Hilfer-Prabhakar fractional derivative and its regularized version are involved.

研究动机与目标

• 定义基于 k-Mittag-Leffler 函数的 k-Prabhakar 分数阶导数的正则化版本以及 k-Hilfer-Prabhakar 分数阶导数。
• 推导 k-Prabhakar 和 k-Hilfer-Prabhakar 分数阶导数的拉普拉斯变换和 Sumudu 变换。
• 建立 k-Prabhakar 导数与其正则化形式之间的解析关系，以及 k-Hilfer-Prabhakar 导数与其正则化版本之间的关系。
• 利用积分变换技术求解涉及 k-Hilfer-Prabhakar 导数的非齐次柯西型问题。
• 推广 Hilfer-Prabhakar 和 k-Prabhakar 分数阶微积分框架中的现有结果。

提出的方法

• 使用 k-Mittag-Leffler 函数和 k-伽马函数定义 k-Prabhakar 积分，扩展黎曼-刘维尔分数阶积分。
• 将 k-Prabhakar 导数定义为 k-黎曼-刘维尔积分与微分算子的复合，其核包含 k-Mittag-Leffler 函数。
• 将 k-Hilfer-Prabhakar 导数定义为 k-Hilfer 导数的推广，用 k-Prabhakar 积分替代标准的 k-黎曼-刘维尔积分。
• 利用 k-Mittag-Leffler 函数的性质，推导 k-Prabhakar 和 k-Hilfer-Prabhakar 导数的拉普拉斯变换和 Sumudu 变换。
• 利用拉普拉斯变换和 Sumudu 变换求解涉及 k-Hilfer-Prabhakar 导数及其正则化版本的非齐次柯西问题。
• 应用反变换，得到以广义 k-Mittag-Leffler 函数和傅里叶-贝塞尔积分表示的显式解。

实验结果

研究问题

• RQ1 k-Prabhakar 分数阶导数与其正则化版本之间的解析关系是什么？
• RQ2 k-Hilfer-Prabhakar 分数阶导数如何定义？其与正则化对应版本的关系是什么？
• RQ3 k-Prabhakar 和 k-Hilfer-Prabhakar 分数阶导数的拉普拉斯变换和 Sumudu 变换是什么？
• RQ4 k-Hilfer-Prabhakar 导数如何用于求解数学物理中的非齐次柯西型问题？
• RQ5 能否利用积分变换方法，将这些问题的解表示为广义 k-Mittag-Leffler 函数的形式？

主要发现

• k-Prabhakar 导数的拉普拉斯变换被推导为 $ \frac{(ku)^{\frac{\nu}{k}}}{k} \big(1 - \frac{\nu}{(ku)^{\frac{\nu}{k}}}\big)^{\frac{\nu}{k}} \big(1 - \frac{\nu}{(ku)^{\frac{\nu}{k}}}\big)^{\frac{\nu}{k}} $，其中涉及 k-Mittag-Leffler 函数。
• 获得了 k-Prabhakar 积分的 Sumudu 变换，将已知结果推广至 k-模拟框架。
• 利用拉普拉斯变换和傅里叶变换，推导出涉及 k-Hilfer-Prabhakar 导数的非齐次柯西问题的闭式解。
• 柯西问题 $ {}_{k}^{C}\nabla_{\nu,\nu,0^{+}}^{\nu,\nu,\nu} u(x,t) = K \frac{\nu^{2}}{\nu x^{2}} u(x,t) $ 的解为 $ u(x,t) = \frac{1}{2k^{2}\nu} \nu_{-\nu}^{\nu} dp\thinspace e^{ipx} \nu g(p) \nu_{n=0}^{\nu} (-K)^{n} p^{2n} t^{\frac{n\nu}{k}} E_{k,\nu,n\nu+k}^{n\nu}(\nu t^{\frac{\nu}{k}}) $，其中涉及 k-Mittag-Leffler 函数。
• 利用拉普拉斯变换和 Sumudu 变换的解法得到一致结果，验证了不同变换技术的一致性。
• 结果推广了 Hilfer-Prabhakar 和 k-Prabhakar 分数阶微积分中的先前发现，将其扩展至具有 k-模拟核的更广泛分数阶算子类别。