[论文解读] Kähler geometry of bounded pseudoconvex Hartogs domains

Yihong Hao, An Wang|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2014

Geometry and complex manifolds被引用 3

一句话总结

本文通过分析由域的定义函数导出的自然完备凯勒度量 $ g^\infty $，研究了有界强拟凸哈托格斯域的凯勒几何。它确立了 $ g^\infty $ 为凯勒-爱因斯坦或极值度量的条件，并通过卡拉比的对距离准则和基域的曲率分析，确定了该域何时可嵌入有限或无限维复空间形式中，实现全纯等距浸入。

ABSTRACT

Let $Ω$ be a bounded pseudoconvex Hartogs domain. There exists a natural complete Kähler metric $g^Ω$ in terms of its defining function. In this paper, we study two problems. The first one is determining when $g^Ω$ is Einstein or extremal. The second one is the existence of holomorphic isometric immersions of $(Ω, g^Ω)$ into finite or infinite dimensional complex space forms.

研究动机与目标

• 表征在何种条件下，有界强拟凸哈托格斯域 $ \Omega $ 上的自然凯勒度量 $ g^\infty $ 为凯勒-爱因斯坦或极值度量。
• 确定 $ (\Omega, g^\Omega) $ 是否可浸入复欧氏、复射影或复双曲空间形式中。
• 将哈托格斯域的几何性质与基域 $ D $ 的性质相关联，特别是通过曲率和强拟凸函数。
• 通过对距离函数和卡拉比准则的应用，将先前关于卡特朗-哈托格斯域的结果推广至一般有界强拟凸哈托格斯域。

提出的方法

• 利用基域 $ D $ 上的严格强拟凸严格凸 exhaustion 函数 $ \varphi $，定义凯勒度量 $ g^\Omega $，其凯勒势为 $ -\log(\varphi(z) - \|z_0\|^2) $。
• 应用卡拉比的对距离准则，通过分析度量势的泰勒展开所导出的某些矩阵的正定性，来研究向复空间形式的全纯等距浸入的存在性。
• 利用 $ -\log\varphi $ 为严格强拟凸且 $ C^\infty $ 的条件，确保度量定义良好且完备。
• 借助哈托格斯域的圆对称性，将浸入问题约化至基域，从而简化对距离函数博赫纳坐标系的分析。
• 通过从势函数导出的曲率公式，分析 $ g^\Omega $ 的里奇曲率与数量曲率，以确定其为爱因斯坦或极值度量的条件。
• 采用连续性方法与蒙格-安培方程技术，如 Cheng-Yau 和 Mok-Yau 所用，将自然度量 $ g^\Omega $ 与 Bergman 度量及凯勒-爱因斯坦结构相联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在基域 $ D $ 满足何种条件时，有界强拟凸哈托格斯域 $ \Omega $ 上的自然凯勒度量 $ g^\Omega $ 为凯勒-爱因斯坦？
• RQ2 自然凯勒度量 $ g^\Omega $ 何时为极值度量？这与 $ g^\Omega $ 的数量曲率和里奇曲率有何关系？
• RQ3 哈托格斯域 $ (\Omega, g^\Omega) $ 何时可全纯等距浸入复欧氏、复射影或复双曲空间形式？
• RQ4 域 $ (\Omega, g^\Omega) $ 的浸入性质如何与基域 $ (D, g^D) $ 的浸入性质相关联？
• RQ5 参数 $ h $（与度量的位似相关）在决定是否可浸入复双曲空间中起何作用？

主要发现

• 有界强拟凸哈托格斯域上的自然凯勒度量 $ g^\Omega $ 为凯勒-爱因斯坦当且仅当基度量 $ g^D $ 的里奇曲率为 $ -(d+1) $，其中 $ d $ 为基域的复维数。
• 度量 $ g^\Omega $ 为极值度量当且仅当其数量曲率为常数，而这一条件恰好在 $ g^D $ 为里奇曲率为 $ -(d+1) $ 的凯勒-爱因斯坦度量时成立。
• 当且仅当基域 $ (D, g^D) $ 在 $ N \leq \infty $ 时可浸入 $ \mathbb{CH}^N $，且满足 $ 0 < h < 1 $ 时，$ (\Omega, g^\Omega) $ 存在全纯等距浸入 $ \mathbb{CH}^\infty $。
• 当 $ h \geq 1 $ 时，矩阵 $ C_{z_{01}(i)}(0) $ 不再为半正定，因此无法浸入 $ \mathbb{CH}^\infty $，从而也无法浸入任何有限维复双曲空间。
• 由于对距离展开中不存在正定矩阵，域 $ (\Omega, g^\Omega) $ 无法全纯等距浸入任何有限维复空间形式。
• 浸入 $ \mathbb{C}^\infty $ 和 $ \mathbb{CP}^\infty $ 的存在性取决于基域的浸入性质及参数 $ h $，而 $ \mathbb{CH}^\infty $ 的浸入仅在 $ 0 < h < 1 $ 时可能。