[论文解读] Kähler Solvmanifolds

Donu Arapura|ArXiv.org|Jun 25, 2003

Geometry and complex manifolds参考文献 10被引用 8

一句话总结

本文在双全纯等价意义下对紧致凯勒可解流形进行了分类，证明其均为复环面关于自由作用有限群的商。关键结果证实了本森与戈登的猜想：完全可解的紧致凯勒可解流形双全纯等价于复环面，该结论基于多项式可解凯勒群的限制定理，以及阿尔巴内塞映射与典范纤维化的性质。

ABSTRACT

Compact Kähler solvmanifolds are classified up to biholomorphism. A proof of a conjecture Benson and Gordon, that completely solvable compact Kähler solvmanifolds are tori is deduced from this. The main ingredient in the proof is a restriction theorem for polycyclic Kähler groups proved by Nori and the author.

研究动机与目标

• 在双全纯等价意义下对所有紧致凯勒可解流形进行分类。
• 证明本森与戈登的猜想：完全可解的紧致凯勒可解流形双全纯等价于复环面。
• 通过其基本群与纤维化结构刻画凯勒可解流形的结构。
• 证明所有此类可解流形均可表示为复环面关于有限群作用的商。

提出的方法

• 利用诺里与阿帕鲁拉（2003）关于多项式可解凯勒群的限制定理，分析凯勒可解流形的基本群。
• 应用典范环面纤维化 $ G/\bar{\nabla} \to G/[G,G] $，其中纤维为紧致尼尔曼。
• 利用阿尔巴内塞映射 $ \alpha: X \to \operatorname{Alb}(X) $，该映射在凯勒可解流形上与典范纤维化一致。
• 证明阿尔巴内塞映射的纤维为凯勒尼尔曼，因此根据 [BG1, 定理 A] 或 [H1] 为复环面。
• 通过群扩张构造例子 $ 0 \to \mathbb{Z}^{2m} \to \Gamma \to \mathbb{Z}^{2n} \to 0 $，其中像有限且复结构不变。
• 证明 $ \Gamma $ 在切空间上的作用可提升为复仿射变换，从而在商空间上诱导出凯勒结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 紧致凯勒可解流形的完整双全纯分类是什么？
• RQ2 完全可解的凯勒可解流形是否必然为复环面？
• RQ3 所有凯勒可解流形是否均可实现为复环面的有限商？
• RQ4 阿尔巴内塞映射在凯勒可解流形结构中起何作用？
• RQ5 是否存在与紧致凯勒流形双有理等价的凯勒可解流形？

主要发现

• 所有紧致凯勒可解流形均双全纯等价于复环面的有限商。
• 凯勒可解流形的基本群嵌入一个扩张 $ 0 \to \mathbb{Z}^{2m} \to \Gamma \to \mathbb{Z}^{2n} \to 0 $，其中像有限且复结构不变。
• 凯勒可解流形的典范环面纤维化等价于其阿尔巴内塞映射。
• 阿尔巴内塞映射的纤维为连通凯勒尼尔曼，因此为复环面。
• 本森与戈登的猜想得以证实：完全可解的紧致凯勒可解流形双全纯等价于复环面。
• 唯一与紧致凯勒流形双有理等价的复可解流形，是通过构造1中的扩张方法构造出的那些。