[论文解读] Kähler-Weyl manifolds of dimension 4

Peter Gilkey, Stana Nikčević|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2011

Geometry and complex manifolds参考文献 16被引用 8

一句话总结

本文在4维空间中对代数伪Hermitian与伪Hermitian Kähler–Weyl曲率张量进行了分类，证明了所有此类代数曲率张量均可几何实现。本文在任意维数下建立了Kähler–Weyl流形的Gray恒等式，并表明在4维情形下，每个Kähler–Weyl结构均可唯一地由具有特定Lee形式的伪/伪Hermitian度量导出，从而解决了高维结果在此情形下失效的问题。

ABSTRACT

We determine the space of algebraic pseudo-Hermitian Kähler-Weyl curvature tensors and the space of para-Hermitian Kähler-Weyl curvature tensors in dimension 4 and show that every algebraic possibility is geometrically realizable. We establish the Gray identity for pseudo-Hermitian Weyl manifolds and for para-Hermitian Weyl manifolds in arbitrary dimension.

研究动机与目标

• 对4维空间中代数伪Hermitian与伪Hermitian Kähler–Weyl曲率张量的空间进行分类。
• 确定所有代数Kähler–Weyl曲率张量是否均可作为实际Kähler–Weyl流形的曲率张量被几何实现。
• 将Gray恒等式推广至任意维数下的伪/伪Hermitian Kähler–Weyl结构。
• 通过从任意4维伪/伪Hermitian流形唯一构造Kähler–Weyl结构，解决定理1.1（Weyl结构的平凡性）在4维中失效的问题。
• 利用结构群 $\mathcal{U}_{\pm}^\star$ 的表示理论对Kähler–Weyl曲率张量空间进行分解。

提出的方法

• 利用群 $\mathcal{U}_{\pm}^\star = \{T \in \mathcal{O} : TJ_{\pm} = \pm J_{\pm}T\}$ 的表示理论，将曲率张量空间分解为不可约的 $\mathcal{U}_{\pm}^\star$-模。
• 应用Weyl结构的曲率分解，施加来自(1.b)、(1.c)和(1.e)的对称性，将 $\mathfrak{K}_{\pm,\mathfrak{W}}$ 定义为Kähler与Weyl曲率张量的交集。
• 使用映射 $\Xi(\psi)(x,y,z,w) = 2\psi(x,y)\langle z,w\rangle + \psi(x,z)\langle y,w\rangle - \psi(y,z)\langle x,w\rangle - \psi(x,w)\langle y,z\rangle + \psi(y,w)\langle x,z\rangle$，将 $\Lambda^2$ 的子模实现为曲率分量。
• 利用引理4.1证明，交替Ricci张量 $\rho_a(f)$ 对于 $f = \pm\frac{1}{4}x_1x_3$ 生成 $\Lambda_{\pm,J_{\pm}}^2$ 和 $\Lambda_{0,\mp,J_{\pm}}^2$ 中的分量，从而证明其属于 $\mathfrak{K}_{\pm,\mathfrak{W}}$。
• 应用定理2.4证明 $\Lambda_{0,\mp,J_{\pm}}^2$ 在 $\mathfrak{W}$ 中的重数为1，并由此推导其在 $\mathfrak{K}_{\pm,\mathfrak{W}}$ 中的重数也为1。
• 构造一个映射 $\Theta: \otimes^2 T_P^*M \to \mathfrak{W}_P$，从 $R^\nabla - R^g$ 出发分析曲率扰动，并应用Gray对称化算子 $\mathcal{G}_\pm$ 证明 $\mathcal{G}_\pm(R^\nabla) = \mathcal{G}_\pm(R^g) = 0$。

实验结果

研究问题

• RQ1 4维空间中伪Hermitian与伪Hermitian Kähler–Weyl曲率张量的完整代数分类是什么？
• RQ2 4维空间中每个代数Kähler–Weyl曲率张量是否均可实现为实际Kähler–Weyl流形的曲率张量？
• RQ3 Gray恒等式 $\mathcal{G}_\pm(R) = 0$ 是否在任意维数下的伪/伪Hermitian Kähler–Weyl流形中成立？
• RQ4 为何定理1.1（$m \geq 6$ 时Weyl结构的平凡性）在4维中失效？如何唯一地构造一个非平凡的Kähler–Weyl结构？
• RQ5 在4维空间中，不可约的 $\mathcal{U}_{\pm}^\star$-模如何在Kähler–Weyl曲率张量空间中分解？

主要发现

• 4维空间中代数伪Hermitian Kähler–Weyl曲率张量的空间同构于不可约 $\mathcal{U}_{\pm}^\star$-模 $W_{\pm,1}, W_{\pm,2}, W_{\pm,3}, W_{\pm,7}, W_{\pm,9}, W_{\pm,11}$ 的直和，其中 $W_{\pm,7}$ 对应于Gray恒等式。
• 4维空间中所有代数Kähler–Weyl曲率张量均可几何实现为Kähler–Weyl流形的曲率张量，通过构造满足 $g(0) = g_0$，$dg(0) = 0$，且 $\phi(0) = 0$ 的局部模型得以证明。
• 任意4维伪/伪Hermitian流形上的唯一Kähler–Weyl结构由 $\phi = \pm\frac{1}{2}J_{\pm}^*\delta\Omega_{\pm}$ 给出，证实了定理1.2。
• $\Lambda_{0,\mp,J_{\pm}}^2$ 在 $\mathfrak{K}_{\pm,\mathfrak{W}}$ 中的重数为1，且 $\Lambda_{\pm,J_{\pm}}^2$ 的重数也为1，尽管其在 $\mathfrak{W}$ 中的重数为2，这是由于其被排除在 $\mathfrak{K}_{\pm,\mathfrak{R}}$ 之外。
• 对任意维数下的伪/伪Hermitian Kähler–Weyl结构，Gray对称化算子 $\mathcal{G}_\pm$ 在曲率张量上恒为零，从而证明了Gray恒等式 $\mathcal{G}_\pm(R) = 0$ 成立。
• Kähler–Weyl联络的曲率张量 $R^\nabla$ 满足 $\mathcal{G}_\pm(R^\nabla) = \mathcal{G}_\pm(R^g)$，且由于对可积的 $J_{\pm}$ 有 $\mathcal{G}_\pm(R^g) = 0$，因此可推出 $\mathcal{G}_\pm(R^\nabla) = 0$。