[论文解读] $k$-Indivisible Noncrossing Partitions

Henri Mühle, Philippe Nadeau+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2019

semigroups and automata theory被引用 2

一句话总结

本文引入并研究了 $k$-不可除非交叉分拆——即 $[kn+1]$ 的非交叉集合分拆，其中所有块大小及块内相邻元素之差均满足模 $k$ 同余于 1。作者建立了此类分拆与特定格路之间的双射，证明其计数公式为 $\frac{2}{N+1}\binom{N+n}{n}$，其中 $N = kn+1$，并通过 $k$-停车函数、卡姆布rian格（Cambrian）格以及非嵌套类比，将经典非交叉分拆结构推广至该新设定。

ABSTRACT

For a fixed integer $k$, we consider the set of noncrossing partitions, where both the block sizes and the difference between adjacent elements in a block is $1\bmod k$. We show that these $k$-indivisible noncrossing partitions can be recovered in the setting of subgroups of the symmetric group generated by $(k+1)$-cycles, and that the poset of $k$-indivisible noncrossing partitions under refinement order has many beautiful enumerative and structural properties. We encounter $k$-parking functions and some special Cambrian lattices on the way, and show that a special class of lattice paths constitutes a nonnesting analogue.

研究动机与目标

• 定义并刻画一类新的非交叉分拆，其块大小与相邻元素之差均满足模 $k$ 同余于 1。
• 建立此类分拆与对称群中由 $(k+1)$-循环生成的子群之间的联系。
• 将经典非交叉分拆结构（如停车函数、卡姆布rian格（Cambrian）格与非嵌套分拆）推广至 $k$-不可除设定。
• 证明此类分拆及其多重链数量的枚举公式。
• 推测其拓扑性质，如 EL-壳化性与序复形的同伦类型。

提出的方法

• 将 $k$-不可除非交叉分拆定义为 $[kn+1]$ 上的非交叉分拆，其中所有循环及其 Kreweras 对偶的长度均满足 $\equiv 1 \pmod{k}$。
• 利用 Hurwitz 作用在长循环的 $(k+1)$-循环分解上，刻画偏序集结构。
• 建立偏序集中极大链与 $k$-停车函数之间的双射。
• 通过三角形偏序集中的序理想构造非嵌套类比，并证明其与 $k$-不可除非交叉分拆之间存在双射。
• 通过弱位于边界路径之上的格路的递归分解，证明计数公式。
• 应用行列式公式与递推关系，推导路径计数的闭合形式，并验证组合恒等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在对所有块大小与相邻差值均满足 $\equiv 1 \pmod{k}$ 的非交叉分拆的组合刻画？
• RQ2 如何对 $k$-不可除非交叉分拆的偏序集进行计数，其 zeta 多项式为何？
• RQ3 能否将 $k$-停车函数推广至此类新分拆类，其与极大链之间有何关系？
• RQ4 能否构造 $k$-不可除非交叉分拆的非嵌套类比，且其是否与非交叉版本存在双射？
• RQ5 偏序集 $\mathrm{NC}_{N;k}$ 是否允许 EL-标记，其序复形（除去最小与最大元）的同伦类型为何？

主要发现

• 在 $[kn+1]$ 上的 $k$-不可除非交叉分拆的数量为 $\frac{2}{kn+2}\binom{kn+n+1}{n}$，其中 $N = kn+1$。
• 偏序集 $\mathrm{NC}_{N;k}$ 的计数由 zeta 多项式 $Z_{N;k}(q+1) = \frac{q+1}{Nq+1}\binom{Nq+n}{n}$ 给出，推广了经典公式。
• 在 $\mathrm{NC}_{N;k}$ 中，极大链与 $k$-停车函数之间存在双射，扩展了文献 [30] 的结果。
• $k$-不可除非交叉分拆的非嵌套类比与三角形偏序集的序理想之间存在双射，且其计数公式相同。
• 此类序理想的数量由包含二项式系数的行列式公式给出，进而导出递推关系。
• 作者推测 $\mathrm{NC}_{N;k}$ 是 EL-壳化的，且其序复形（除去最小与最大元）同伦等价于球面的楔和。