[论文解读] $K(\\pi,1)$ and word problems for infinite type Artin-Tits groups, and applications to virtual braid groups

Eddy Godelle, Luis Paris|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 22被引用 4

一句话总结

该论文证明了，若所有不含无穷大的抛物子群的无限类型Artin-Tits群的词问题可解，则其无限类型Artin-Tits群的词问题也可解，并为其普遍覆盖构造了一个CAT(0)立方复形模型。该研究将这些结果应用于虚拟 braid 群 $VB_n$，证明其词问题可解且虚拟上同调维数为 $n-1$，从而解决了辫群理论中的关键结构性问题。

ABSTRACT

Let $\\Gamma$ be a Coxeter graph, let $(W,S)$ be its associated Coxeter system, and let $(A,\\Sigma$) be its associated Artin-Tits system. We regard $W$ as a reflection group acting on a real vector space $V$. Let $I$ be the Tits cone, and let $E_\\Gamma$ be the complement in $I +iV$ of the reflecting hyperplanes. Recall that Charney, Davis, and Salvetti have constructed a simplicial complex $\\Omega(\\Gamma)$ having the same homotopy type as $E_\\Gamma$. We observe that, if $T \\subset S$, then $\\Omega(\\Gamma_T)$ naturally embeds into $\\Omega (\\Gamma)$. We prove that this embedding admits a retraction $\\pi_T: \\Omega(\\Gamma) \ o \\Omega (\\Gamma_T)$, and we deduce several topological and combinatorial results on parabolic subgroups of $A$. From a family $\\SS$ of subsets of $S$ having certain properties, we construct a cube complex $\\Phi$, we show that $\\Phi$ has the same homotopy type as the universal cover of $E_\\Gamma$, and we prove that $\\Phi$ is CAT(0) if and only if $\\SS$ is a flag complex. We say that $X \\subset S$ is free of infinity if $\\Gamma_X$ has no edge labeled by $\\infty$. We show that, if $E_{\\Gamma_X}$ is aspherical and $A_X$ has a solution to the word problem for all $X \\subset S$ free of infinity, then $E_\\Gamma$ is aspherical and $A$ has a solution to the word problem. We apply these results to the virtual braid group $VB_n$. In particular, we give a solution to the word problem in $VB_n$, and we prove that the virtual cohomological dimension of $VB_n$ is $n-1$.

研究动机与目标

• 通过分析其抛物子群，建立无限类型Artin-Tits群的词问题可解的条件。
• 为 Tits 单形中反射超平面的补集的普遍覆盖构造一个CAT(0)立方复形模型。
• 证明虚拟辫群 $VB_n$ 的词问题可解且虚拟上同调维数为 $n-1$。
• 验证与虚拟辫群相关的Coxeter图的子图的 $K(\pi,1)$ 猜想。

提出的方法

• 构造一个单纯复形 $\Omega(\Gamma)$，其同伦等价于 Tits 单形中反射超平面的补集 $E_\Gamma$。
• 为每个子集 $T \subset S$ 定义一个收缩映射 $\pi_T: \Omega(\Gamma) \to \Omega(\Gamma_T)$，从而实现对抛物子群的拓扑控制。
• 从集合 $S$ 的一族子集 $\mathcal{S}$ 构造一个立方复形 $\Phi$，并证明 $\Phi$ 与 $E_\Gamma$ 的普遍覆盖具有相同的同伦型。
• 证明 $\Phi$ 是CAT(0)当且仅当 $\mathcal{S}$ 是一个旗复形，从而将组合性质与非正曲率联系起来。
• 利用 $A_X$ 对所有不含无穷大的 $X \subset S$ 均有词问题可解的事实，推导出 $A$ 的词问题也可解。
• 通过将虚拟辫群 $VB_n$ 的Artin-Tits系统与Coxeter图 $\Gamma_{VB,n}$ 关联，并验证其抛物子群的条件，将上述结果应用于 $VB_n$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种Coxeter图 $\Gamma$ 条件下，其对应的Artin-Tits群 $A$ 必然具有可解词问题？
• RQ2 何时 $E_\Gamma$ 的普遍覆盖同伦等价于一个CAT(0)立方复形？
• RQ3 与虚拟辫群 $VB_n$ 关联的Coxeter图 $\Gamma_{VB,n}$ 是否满足 $K(\pi,1)$ 猜想？
• RQ4 虚拟辫群 $VB_n$ 的虚拟上同调维数是多少？

主要发现

• 虚拟辫群 $VB_n$ 的词问题可解，这是通过其Artin-Tits系统中所有不含无穷大的抛物子群的词问题可解而得出的。
• 虚拟辫群 $VB_n$ 的虚拟上同调维数为 $n-1$，这是通过为其纯子群 $K_n$ 构造一个维数为 $n-1$ 的分类空间而证明的。
• 纯虚拟辫群 $K_n$ 有一个维数为 $n-1$ 的分类空间，且其上同调维数恰好为 $n-1$，从而确认其为无挠群且属于FP型。
• Coxeter图 $\Gamma_{VB,n}$ 是 $K(\pi,1)$ 型的，即 $E_{\Gamma_{VB,n}}$ 是一个 $K(CA_{\Gamma_{VB,n}},1)$ 空间，支持了该类的 $K(\pi,1)$ 猜想。
• 与不含无穷大的子集族相关的立方复形 $\Phi$ 是CAT(0)当且仅当该族构成一个旗复形，从而提供了一个组合性准则以判断非正曲率。