[论文解读] K-theoretic Hall algebras for quivers with potential

Tudor Pădurariu|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2019

Algebraic structures and combinatorial models被引用 5

一句话总结

本文通过奇点范畴引入了带有势能的 quiver 的 K-理论 Hall 代数（KHA），建立了其上的一個 perverse 分次，其分次代数为对称代数的形变，并证明了類似 PBW 的定理。該文構造了 KHA 與上同調 Hall 代數（CoHA）之間的 Chern 特征同構，並證明對於三重 quiver (eQ, fW)，KHA 實現了量子仿射代數 Uq(c gQ) 的正部分，將 Nakajima 的幾何構造推廣至 K-理論。

ABSTRACT

Given a quiver with potential $(Q,W)$, Kontsevich-Soibelman constructed a Hall algebra on the cohomology of the stack of representations of $(Q,W)$. As shown by Davison-Meinhardt, this algebra comes with a filtration whose associated graded algebra is supercommutative. A special case of this construction is related to work of Nakajima, Varagnolo, Maulik-Okounkov etc. about geometric constructions of Yangians and their representations; indeed, given a quiver $Q$, there exists an associated pair $(\widetilde{Q},\widetilde{W})$ for which the CoHA is conjecturally the positive half of the Yangian $Y_{ ext{MO}}(\mathfrak{g}_Q)$. The goal of this article is to extend these ideas to K-theory. More precisely, we construct a K-theoretic Hall algebra using category of singularities, define a filtration whose associated graded algebra is a deformation of a symmetric algebra, and compare the $ ext{KHA}$ and the $ ext{CoHA}$ using the Chern character. As before, we expect our construction for the special class of quivers $(\widetilde{Q},\widetilde{W})$ to recover the positive part of quantum affine algebra $U_q(\hat{\mathfrak{g}_Q})$ defined by Okounkov-Smirnov, but for general pairs $(Q,W)$ we expect new phenomena.

研究动机与目标

• 將上同調 Hall 代數（CoHA）的構造推廣至帶有勢能的 quiver 的 K-理論。
• 利用奇點的范畴定義 K-理論 Hall 代數（KHA）。
• 在 KHA 上建立一個 perverse 分次，其分次代數為對稱代數的形變。
• 證明 KHA 的 PBW-類似定理，並與 BPS 李代數建立關聯。
• 證明對於三重 quiver (eQ, fW)，KHA 實現了量子仿射代數 Uq(c gQ) 的正部分，推廣了已知的幾何構造。

提出的方法

• 將 KHA 定義為在表示堆棧上 Tr(W) 的臨界集的奇點範疇的 Grothendieck 群。
• 利用粗模空間映射定義 KHA 上的 perverse 分次，類比於上同調情形。
• 透過 K-理論 PBW 定理，證明 KHA 的分次代數同構於度 1 部分的對稱代數與 H*(BC*) 的張量積。
• 利用維數約化與 Chern 特征，將 KHA 與 CoHA 關聯，證明 Chern 特征誘導出從 K-理論 BPS 李代數到上同調 BPS 李代數的滿射。
• 透過框架 quiver 堆棧上的卷積，構造 KHA 在 Nakajima quiver 種的 K-理論上的表示。
• 將形式化應用於 Jordan quiver 和三重 quiver (eQ, fW)，證明 KHA 作用於 Hilb(C^3, d) 的 K-理論上，並恢復 Uq(c gQ) 的正部分。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何將上同調 Hall 代數的構造推廣至帶有勢能的 quiver 的 K-理論？
• RQ2 透過奇點範疇定義的 K-理論 Hall 代數（KHA）的結構為何？
• RQ3 KHA 是否具有一個 perverse 分次，其分次代數為對稱代數的形變，其 PBW-類似結構為何？
• RQ4 Chern 特征如何將 KHA 與上同調 Hall 代數（CoHA）關聯？
• RQ5 對於三重 quiver (eQ, fW)，KHA 是否如 CoHA 的猜想一般，恢復了量子仿射代數 Uq(c gQ) 的正部分？

主要发现

• 對於帶有勢能的 quiver (Q, W)，KHA 定義為 Tr(W) 的臨界集的奇點範疇的 Grothendieck 群，提供了 CoHA 的 K-理論類比。
• KHA 擁有一個 perverse 分次，其分次代數同構於度 1 部分的對稱代數與 H*(BC*) 的張量積，從而確立了 PBW-類似定理。
• Chern 特征誘導出從 K-理論 BPS 李代數到上同調 BPS 李代數的滿射，在 (eQ, fW) 情形下此映射為同構。
• 對於三重 quiver (eQ, fW)，KHA 同構於量子仿射代數 Uq(c gQ) 的正部分，與 CoHA 的猜想一致。
• KHA 自然作用於 Nakajima quiver 種的 K-理論上，其作用透過框架 quiver 堆棧上的卷積構造。
• 在 Jordan quiver 情形下，KHA 作用於 Hilb(C^3, d) 的 K-理論上，且 KHA 同構於量子仿射代數 Uq(c gl1) 的正部分。