[论文解读] K-theory of group Banach algebras and Banach property RD

Benben Liao, Guoliang Yu|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2017

Advanced Operator Algebra Research参考文献 12被引用 10

一句话总结

该论文证明了对于一大类群（如双曲群、半单李群中的格，以及多项式增长群），由 $L^p(G)$ 上的卷积算子构成的群 Banach 代数 $B^p_r(G)$ 的 K-理论在 $p \in [1,\infty]$ 范围内是独立的，前提是这些群满足 Banach 版本的快速衰减性质（即 $(RD)_q$ 性质）。关键机制在于证明了 $*$-闭子代数 $B^{p,*}_r(G)$（其在全纯函数演算下封闭）在不同 $p$ 之间诱导出 K-理论的同构，从而实现向 $C^*$-代数 K-理论的插值与半连续性结果。

ABSTRACT

We investigate Banach algebras of convolution operators on the $L^p$ spaces of a locally compact group, and their K-theory. We show that for a discrete group, the corresponding K-theory groups depend continuously on $p$ in an inductive sense. Via a Banach version of property RD, we show that for a large class of groups, the K-theory groups of the Banach algebras are independent of $p$.

研究动机与目标

• 研究 $L^p$ 群 Banach 代数 $B^p_r(G)$ 的 K-理论群对指数 $p$ 的依赖性。
• 建立 $K_*(B^p_r(G))$ 与 $p$ 无关的条件，将 Baum-Connes 与 Bost 猜想推广至 $L^p$ 设置。
• 引入并利用一种 Banach 代数版本的快速衰减性质，记为 $(RD)_q$，以控制算子范数与 K-理论不变性。
• 证明 $*$-闭代数 $B^{p,*}_r(G)$ 能够保持 K-理论信息，并允许在不同 $p$ 之间进行插值。
• 证明 $K_*(C^*_r(G))$ 可作为 $p>2$ 时 $K_*(B^{p,*}_r(G))$ 的归纳极限，从而在 $p \to 2$ 极限下建立半连续性。

提出的方法

• 将 $B^p_r(G)$ 定义为 $C_c(G)$ 在 $L^p(G)$ 上的算子范数下的完备化，将 $B^{p,*}_r(G)$ 定义为在范数 $\|f\|_{B^{p,*}_r(G)} = \max\{\|f\|_{B(L^p)}, \|f^*\|_{B(L^p)}\}$ 下的完备化。
• 引入性质 $(RD)_q$，即 Banach 代数版本的快速衰减，确保存在 $s>0$ 使得 $\|f\|_{B(L^p)} \lesssim \|f(1+l)^s\|_{L^q(G)}$，其中 $l$ 为长度函数。
• 在光滑向量空间 $S^\infty_q(G)$（即所有迭代导出算子 $\delta^k$ 的定义域的交集）上使用全纯函数演算，证明 $B^{p,*}_r(G)$ 与 $B^p_r(G)$ 的 K-理论同构。
• 对 $2 \leq p < p' \leq \infty$ 构造一个自然的同态映射 $i_{p',p}: B^{p',*}_r(G) \to B^{p,*}_r(G)$，实现代数之间的插值。
• 应用 Lafforgue 工作中的无条件完备化与装配映射，证明当 $p>2$ 时 $K_*(B^{p,*}_r(G))$ 稳定，从而得到 $K_*(C^*_r(G))$ 的归纳极限描述。
• 利用 $|e^{itl(x)} - 1| \leq Ct$ 的密度与范数估计，证明一参数自伴自同构 $a_t: T \mapsto e^{itl} T e^{-itl}$ 的强连续性，其生成元 $\delta$ 定义了光滑向量分析中使用的导出算子。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于离散群，特别是 $p \in [1,\infty]$ 范围内，$B^p_r(G)$ 的 K-理论是否依赖于 $p$？
• RQ2 对于所有 $p \geq 2$，是否存在 canonical morphism $B^{p,*}_r(G) \to B^p_r(G)$ 在 K-理论上为同构？
• RQ3 能否将 $C^*_r(G)$ 的 K-理论实现为 $p>2$ 时 $K_*(B^{p,*}_r(G))$ 的归纳极限？
• RQ4 Banach 性质 $(RD)_q$ 是否意味着 $B^p_r(G)$ 的 $K_*$-理论在 $p$ 上不变？
• RQ5 是否存在具有快速衰减性质但对某些 $q \in (1,2)$ 失去 $(RD)_q$ 性质的群？

主要发现

• 对于任意具有性质 $(RD)_q$ 的离散群 $G$，有 $K_*(B^{p,*}_r(G))$ 与 $K_*(B^p_r(G))$ 在 $1/p + 1/q = 1$ 条件下存在自然同构。
• $*$-闭代数 $B^{p,*}_r(G)$ 在全纯函数演算下封闭，确保包含映射 $B^{p,*}_r(G) \to B^p_r(G)$ 在 K-理论上保持不变。
• 当 $2 \leq p < p' \leq \infty$ 且 $G$ 满足 $q$ 为 $p$ 的对偶的 $(RD)_q$ 性质时，映射 $i_{p',p}: B^{p',*}_r(G) \to B^{p,*}_r(G)$ 在 K-理论上诱导出同构。
• 对于有限生成群 $G$，有 $K_*(C^*_r(G))$ 是 $p>2$ 时 $K_*(B^{p,*}_r(G))$ 的归纳极限，即 $K_*(C^*_r(G)) = \bigcup_{p>2} i^*_{p,2}(K_*(B^{p,*}_r(G)))$。
• 对于 Lafforgue 类 C’ 中满足 $q \in [1,2]$ 的 $(RD)_q$ 性质的群，$B^p_r(G)$ 的 K-理论在 $p \in [1,\infty]$ 上独立，包括 $p=1$、$p=2$ 和 $p=\infty$。
• 关于导出算子 $\delta$ 的光滑向量空间 $S^\infty_q(G)$ 与 $B^p_r(G)$、$B^q_r(G)$ 及 $B^{p,*}_r(G)$ 中 $\delta^k$ 的定义域的交集一致，从而可在不同 $p$-空间之间使用全纯函数演算。