[论文解读] $K$-theory of Leavitt path algebras

Pere Ara, Miquel Brustenga+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 31被引用 42

一句话总结

本文在代数K-理论中为行有限有向图$E$上的Leavitt路径代数$L_R(E)$建立了长正合列，通过矩阵$1 - N_E^t$将$K_n(L_R(E))$与$K_n(R)$联系起来。对于诺特正则环或稳定$C^*$-代数，该正合列成立；在特定条件下，包括当$\frak{A}$稳定或$\frak{A} = \mathbb{C}$且$\text{det}(1 - N_E^t) \neq 0$时，$L_{\frak{A}}(E)$的代数$K$-理论与Cuntz-Krieger代数$C^*_{\frak{A}}(E)$的拓扑$K$-理论一致。该结果统一并推广了这些代数的代数与拓扑$K$-理论不变量。

ABSTRACT

Let $E$ be a row-finite quiver and let $E_0$ be the set of vertices of $E$; consider the adjacency matrix $N'_E=(n_{ij})\in\Z^{(E_0 imes E_0)}$, $n_{ij}=#\{$ arrows from $i$ to $j\}$. Write $N^t_E$ and 1 for the matrices $\in \Z^{(E_0 imes E_0\setminus\Sink(E))}$ which result from $N'^t_E$ and from the identity matrix after removing the columns corresponding to sinks. We consider the $K$-theory of the Leavitt algebra $L_R(E)=L_\Z(E)\otimes R$. We show that if $R$ is either a Noetherian regular ring or a stable $C^*$-algebra, then there is an exact sequence ($n\in\Z$) \[ K_n(R)^{(E_0\setminus\Sink(E))}\stackrel{1-N_E^t}{\longrightarrow} K_n(R)^{(E_0)} o K_n(L_R(E)) o K_{n-1}(R)^{(E_0\setminus\Sink(E))} \] We also show that for general $R$, the obstruction for having a sequence as above is measured by twisted nil-$K$-groups. If we replace $K$-theory by homotopy algebraic $K$-theory, the obstructions dissapear, and we get, for every ring $R$, a long exact sequence \[ KH_n(R)^{(E_0\setminus\Sink(E))}\stackrel{1-N_E^t}{\longrightarrow}KH_n(R)^{(E_0)} o KH_n(L_R(E)) o KH_{n-1}(R)^{(E_0\setminus\Sink(E))} \] We also compare, for a $C^*$-algebra $\fA$, the algebraic $K$-theory of $L_\fA(E)$ with the topological $K$-theory of the Cuntz-Krieger algebra $C^*_\fA(E)$. We show that the map \[ K_n(L_\fA(E)) o K^{ op}_n(C^*_\fA(E)) \] is an isomorphism if $\fA$ is stable and $n\in\Z$, and also if $\fA=\C$, $n\ge 0$, $E$ is finite with no sinks, and $\det(1-N_E^t) e 0$.

研究动机与目标

• 为与行有限有向图$E$相关的Leavitt路径代数$L_R(E)$在代数$K$-理论中建立长正合列。
• 以扭曲的零$K$-群形式识别该正合列在一般环$R$下的障碍。
• 证明当$R$为诺特正则环或稳定$C^*$-代数时，该障碍消失，从而得到完整的正合列。
• 比较$C^*$-代数$\frak{A}$下$L_{\frak{A}}(E)$的代数$K$-理论与Cuntz-Krieger代数$C^*_{\frak{A}}(E)$的拓扑$K$-理论。
• 证明当$\frak{A}$稳定或$\frak{A} = \mathbb{C}$且$\text{det}(1 - N_E^t) \neq 0$时，比较映射$K_n(L_{\frak{A}}(E)) \to K^{\rm top}_n(C^*_{\frak{A}}(E))$是同构。

提出的方法

• 使用同伦余纤维构造$C = \text{hocofiber}(K(R)^{(E_0 \backslash \text{Sink}(E))} \to K(R)^{(E_0)})$来建模预期的$K$-理论序列。
• 应用$K$-理论中的黏性定理，特别是Suslin与Wodzicki的定理，分析$K$-理论在环扩张下的行为。
• 引入$H'$-酉性与$H$-酉性，以刻画$K$-理论满足黏性性质的环，尤其在扭曲多项式环的背景下。
• 使用同伦代数$K$-理论$KH_*$以消除障碍，因为$KH_*$普遍满足黏性性质。
• 构造自然的比较映射$\rho_n: K_n(L_{\frak{A}}(E)) \to K^{\rm top}_n(C^*_{\frak{A}}(E))$，并在关键情形下证明其为同构。
• 利用稳定$C^*$-代数及其张量积的$K$-正则性，确保$K$-理论与$KH$-理论一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，Leavitt路径代数$L_R(E)$的$K$-理论能嵌入一个涉及$K_n(R)$与矩阵$1 - N_E^t$的长正合列？
• RQ2 对于一般环$R$，该长正合列的障碍性质为何？
• RQ3 在何种条件下，$L_{\frak{A}}(E)$的代数$K$-理论与$C^*_{\frak{A}}(E)$的拓扑$K$-理论一致？
• RQ4 对于稳定$C^*$-代数$\frak{A}$，比较映射$K_n(L_{\frak{A}}(E)) \to K^{\rm top}_n(C^*_{\frak{A}}(E))$是否为同构？
• RQ5 当$\frak{A} = \mathbb{C}$且$\text{det}(1 - N_E^t) \neq 0$时，代数与拓扑$K$-理论之间的同构是否仍然成立？

主要发现

• 对任意行有限有向图$E$与环$R$，在同伦代数$K$-理论中存在长正合列：$KH_n(R)^{(E_0 \backslash \text{Sink}(E))} \to KH_n(R)^{(E_0)} \to KH_n(L_R(E)) \to KH_{n-1}(R)^{(E_0 \backslash \text{Sink}(E))}$。
• 当$R$为诺特正则环或稳定$C^*$-代数时，扭曲的零$K$-群消失，序列$K_n(R)^{(E_0 \backslash \text{Sink}(E))} \to K_n(R)^{(E_0)} \to K_n(L_R(E)) \to K_{n-1}(R)^{(E_0 \backslash \text{Sink}(E))}$变为正合。
• 当$R = \mathbb{C}$，$E$有限且无汇点，且$\text{det}(1 - N_E^t) \neq 0$时，比较映射$K_n(L_{\mathbb{C}}(E)) \to K^{\rm top}_n(C^*_{\mathbb{C}}(E))$对所有$n \neq 0$为同构。
• 对任意稳定$C^*$-代数$\frak{A}$，映射$K_n(L_{\frak{A}}(E)) \to K^{\rm top}_n(C^*_{\frak{A}}(E))$对所有$n \neq 0$为同构。
• 稳定$C^*$-代数及其张量积的$K$-正则性确保了$K$-理论与$KH$-理论一致，从而使得该正合列在代数$K$-理论设定下成立。
• 当$\frak{A}$为稳定$C^*$-代数时，比较映射$\rho_n: K_n(L_{\frak{A}}(E)) \to K^{\rm top}_n(C^*_{\frak{A}}(E))$为同构，此结论通过$K$-正则性及同构$K_n(\frak{A}) \to K^{\rm top}_n(\frak{A})$得以证明。