[论文解读] $K3$ curves with index $k>1$.

Ciro Ciliberto, Thomas Dedieu|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文通过分析遗忘映射 $ c^k_g: \mathcal{KC}^k_g \to \mathcal{M}_g $，研究了 $ k > 1 $ 的 K3 曲线，几何地计算其一般纤维的维数。关键结果是：仅当 K3 曲面为完全交或 Mukai 簇的截面时，纤维维数才非平凡，从而导出 $ k $-自守曲线的分类结果，并在加权射影空间中显式构造了通用扩张。

ABSTRACT

Let $\mathcal{KC}_g ^k$ be the moduli stack of pairs $(S,C)$ with $S$ a $K3$ surface and $C\subset S$ a genus $g$ curve with divisibility $k$ in $\mathrm{Pic}(S)$. In this article we study the forgetful map $c_g^k:(S,C) \mapsto C$ from $\mathcal{KC}_g ^k$ to $\mathcal{M}_g$ for $k>1$. First we compute by geometric means the dimension of its general fibre. This turns out to be interesting only when $S$ is a complete intersection or a section of a Mukai variety. In the former case we find the existence of interesting Fano varieties extending $C$ in its canonical embedding. In the latter case this is related to delicate modular properties of the Mukai varieties. Next we investigate whether $c_g^k$ dominates the locus in $\mathcal{M}_g$ of $k$-spin curves with the appropriate number of independent sections. We are able to do this only when $S$ is a complete intersection, and obtain in these cases some classification results for spin curves.

研究动机与目标

• 计算 $ k > 1 $ 时遗忘映射 $ c^k_g: \mathcal{KC}^k_g \to \mathcal{M}_g $ 的一般纤维维数，扩展对原始情形（$ k=1 $）的研究。
• 研究 $ c^k_g $ 是否支配具有 $ g_1 + 1 $ 个独立截面的 $ k $-自守曲线的模空间，特别是在 K3 曲面为完全交的情形下。
• 显式构造并描述一般 $ K3 $ 曲线（索引 $ k > 1 $）的通用扩张 $ X $，尤其在 $ S $ 为完全交或 Mukai 簇的截面时。
• 在加权射影空间中，以完全交的形式提供通用扩张的几何构造，恢复并改进 [9] 中通过上同调计算得到的结果。
• 探索 Mukai 簇及其截面的模性质，特别是与自同构群 $ G = \mathrm{Aut}(M_{g_1}) $ 的关系，以及 $ C $ 的模型在该群作用下的共轭性。

提出的方法

• 通过分析 Gauss–Wahl 映射 $ \Phi_C $ 进行几何分析，以计算余秩，从而确定 $ c^k_g $ 的纤维维数。
• 通过反 canonical 除子类，显式构造通用扩张 $ X $ 为加权射影空间中的完全交。
• 通过分析 $ S $ 上的线性系统及其在 $ C $ 上的拉回，对一般纤维 $ (c^k_g)^{-1}(C) $ 进行分类，尤其在 $ S $ 为完全交的情形下。
• 利用 Prokhorov 对 Gorenstein Fano 三叉的亏格的有界性，限制 $ c^k_g $ 可能具有正维纤维的 $ g $ 的范围。
• 将 $ c^k_g $ 因式分解为 $ k $-自守曲线模堆栈 $ S^{1/k}_{g_1,g} $（满足 $ h^0(\theta) \geq g_1 + 1 $）的映射，从而与已知的自守曲线模进行比较。
• 对曲面模型（如有理柱面、del Pezzo 曲面、$ \mathbb{P}^2 $ 的爆破）进行逐案分析，以排除导致 $ g^1_8 $ 的配置，从而约束纤维结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些 $ g_1 $ 和 $ k > 1 $，遗忘映射 $ c^k_g: \mathcal{KC}^k_g \to \mathcal{M}_g $ 的一般纤维在维数上非平凡？
• RQ2 一般 $ K3 $ 曲线 $ C $（索引 $ k > 1 $）的通用扩张 $ X $ 是否可显式构造为加权射影空间中的完全交？
• RQ3 Mukai 簇 $ M_{g_1} $ 是否为 $ k=1 $、$ g_1 > 6 $ 以及 $ k=2 $、$ g_1=6 $ 时 $ c^k_g $ 的像中一般曲线的通用扩张？
• RQ4 当 $ C $ 是 Mukai 簇的截面时，一般 $ K3 $ 曲线 $ C $ 的所有模型在 $ \mathrm{Aut}(M_{g_1}) $ 作用下是否共轭？
• RQ5 遗忘映射 $ c^k_g $ 在多大程度上支配具有 $ g_1 + 1 $ 个独立截面的 $ k $-自守曲线模空间？

主要发现

• 仅当 $ g_1 \in \{3,4,5\} $（完全交情形）或 $ g_1 \in \{6,7,8,9,10\} $（Mukai 簇情形）时，$ c^k_g $ 的一般纤维才具有正维数，且当 $ g > 37 $ 时，除有限多个 $ g_1, k $ 对外，一般情形为单射。
• 当 $ g_1 \in \{3,4,5\} $ 时，一般 $ K3 $ 曲线 $ C $ 的通用扩张 $ X $ 是加权射影空间中的完全交，通过 $ | -K_X | $ 中的除子嵌入，且该构造恢复了 [9] 中通过上同调计算得到的 Gauss–Wahl 映射的余秩。
• 当 $ g_1 = 6 $、$ k = 2 $ 时，$ c^k_g $ 的一般纤维维数为 1，且 Mukai 簇 $ M_6 $ 是像中一般曲线的通用扩张。
• 在 $ g_1 = 6 $、$ k = 2 $ 的情形下，模堆栈 $ S^{1/2}_{6,g} $ 被 $ \mathcal{KC}^2_g $ 支配，且像中的一般曲线是满足 $ h^0(\theta) = 7 $ 的 $ k $-自守曲线。
• 当 $ k=1 $、$ g_1 > 6 $，或 $ k=2 $、$ g_1 = 6 $ 时，Mukai 簇 $ M_{g_1} $ 是 $ \mathrm{im}(c^k_g) $ 中一般曲线的通用扩张，从而证实了一个自然的猜想。
• 显式构造了 $ S^{1/k}_{g_1,g} $ 中满足 $ h^0(\theta) = g_1 + 1 $ 的 $ k $-自守曲线例子，包括存在基点和奇异模型的情形，表明 $ c^k_g $ 的像严格大于基点自由 $ k $-自守曲线的模空间。