[论文解读] K3 surfaces with maximal finite automorphism groups containing $M\_{20}$

Cédric Bonnafé, A. Sarti|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2019

Finite Group Theory Research参考文献 9被引用 7

一句话总结

本文分类了包含 Mathieu 群 $M_{20}$ 的最大有限自同构群的 K3 曲面，证明恰好存在三类此类 K3 曲面：Kummer 曲面 $operatorname{Km}(E_i \times E_i)$、$operatorname{Km}(E_{i\sqrt{10}} \times E_{i\sqrt{10}})$ 和 $operatorname{Km}(E_\tau \times E_{2\tau})$，其中 $tau = \frac{-1 + i\sqrt{5}}{2}$。本文为全部三类曲面提供了显式方程，计算了其超越格，通过群论与格论论证确认了唯一性。

ABSTRACT

It was shown by Mukai that the maximum order of a finite group acting faithfully and symplectically on a K3 surface is $960$ and that the group is isomorphic to the group $M\_{20}$. Then Kondo showed that the maximum order of a finite group acting faithfully on a K3 surface is $3\,840$ and this group contains the Mathieu group $M\_{20}$ with index four. Kondo also showed that there is a unique K3 surface on which this group acts faithfully, which is the Kummer surface $\Km(E\_i imes E\_i)$. In this paper we describe two more K3 surfaces admitting a big finite automorphism group of order $1\,920$, both groups contains $M\_{20}$ as a subgroup of index 2. We show moreover that these two groups and the two K3 surfaces are unique. This result was shown independently by S. Brandhorst and K. Hashimoto in a forthcoming paper, with the aim of classifying all the finite groups acting faithfully on K3 surfaces with maximal symplectic part.

研究动机与目标

• 分类所有接受有限群 $\Gamma$ 的忠实、非辛作用的 K3 曲面，其中 $M_{20}$ 作为指数为 2 或 4 的正规子群包含于 $\Gamma$ 中。
• 确定此类 K3 曲面及其自同构群的唯一性，特别是当 $\Gamma$ 为最大时。
• 计算具有此类自同构群的三类 K3 曲面的超越格。
• 为此前未知的两类 K3 曲面提供显式方程，其中一类为加权射影空间中的完全交。
• 证明这三类曲面均为具有复乘的椭圆曲线积的 Kummer 曲面。

提出的方法

• 利用正合列 $1 \to M_{20} \to \Gamma \to \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \to 1$ 分析 $\Gamma$ 对全纯 2-形式的作用，分类非辛作用。
• 应用定理 2.7 将可能的 K3 曲面限制为三类候选：$X_{\mathrm{Ko}}$、$X_{\mathrm{Mu}}$ 和 $X_{\mathrm{BH}}$。
• 使用格论方法及 Shioda 和 Mitani 的结果，计算每类曲面的超越格。
• 通过 Inose 的结果显式构造 $X_{\mathrm{Ko}}$ 的方程，其为 $\mathbb{P}(1,1,2,2,2)$ 中的完全交；对 $X_{\mathrm{BH}}$，详细研究 $M_{20}$ 在 $\mathbb{P}^5$ 上的作用。
• 使用 Magma 验证群作用、轨道结构，以及通过 Nikulin 构型在 $X_{\mathrm{BH}}$ 上存在 16 条互不相交的有理曲线。
• 利用 $G_{\mathrm{Ko}}$ 的最大性及 $PG_{\mathrm{Mu}}$ 与 $PG_{\mathrm{BH}}$ 不同构于 $G_{\mathrm{Ko}}$ 的性质，证明三类群的唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在 K3 曲面，其有限自同构群严格包含 $M_{20}$ 作为正规子群，并以忠实、非辛方式作用？
• RQ2 哪些 K3 曲面可接受此类自同构群的作用？它们是否唯一？
• RQ3 这些 K3 曲面的超越格是什么？它们如何区分三类曲面？
• RQ4 能否为此前在该语境下未知的两类 K3 曲面构造显式方程？
• RQ5 这些曲面是否具有 16 条互不相交的光滑有理曲线的 Nikulin 构型？能否显式描述？

主要发现

• 恰好存在三类 K3 曲面，接受有限群 $\Gamma$ 的忠实、非辛作用，其中 $M_{20} \triangleleft \Gamma$ 且 $[\Gamma : M_{20}] = 2$ 或 $4$。
• 这三类 K3 曲面为 $X_{\mathrm{Ko}} \cong \operatorname{Km}(E_i \times E_i)$、$X_{\mathrm{Mu}} \cong \operatorname{Km}(E_{i\sqrt{10}} \times E_{i\sqrt{10}})$ 和 $X_{\mathrm{BH}} \cong \operatorname{Km}(E_\tau \times E_{2\tau})$，其中 $\tau = \frac{-1 + i\sqrt{5}}{2}$。
• 曲面 $X_{\mathrm{Mu}}$ 的超越格与 $U(2) \oplus U(2) \oplus \langle 8 \rangle$ 等距，$X_{\mathrm{BH}}$ 的超越格为 $U(2) \oplus U(2) \oplus \langle 4 \rangle$，而 $X_{\mathrm{Ko}}$ 的超越格为 $U(2) \oplus U(2) \oplus \langle 40 \rangle$。
• $X_{\mathrm{BH}}$ 是 $\mathbb{P}^5$ 中三个二次曲面的光滑完全交，其显式方程由 $M_{20}$ 在 $\mathbb{P}^5$ 上的作用导出。
• 在 $X_{\mathrm{BH}}$ 上，16 条互不相交的光滑有理曲线的 Nikulin 构型被显式构造为子群 $\mathscr{A}$（阶为 32）作用于一条圆锥所得的轨道。
• $PG_{\mathrm{Mu}}$ 与 $PG_{\mathrm{BH}}$ 均不与 $G_{\mathrm{Ko}}$ 的子群同构，确认了三类 K3 曲面的非同构性，以及其自同构群的最大性。