[论文解读] Kac-Moody and Virasoro algebras

Antony Wassermann|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2010

Algebraic structures and combinatorial models被引用 11

一句话总结

本文利用超对称性和狄拉克算子技术，发展了仿射卡克斯–莫迪和维拉索罗代数的幺正表示理论，受戈达德–肯特–歐文及卡扎马–鈴木coset构造的启发。该研究建立了若干关键结果，包括卡克斯的特征标公式、弗里丹–邱–申克尔的幺正性判据，以及正能表示的“无鬼”定理。

ABSTRACT

These are the notes for a Part III course given in the University of Cambridge in autumn 1998. They contain an exposition of the representation theory of the Lie algebras of compact matrix groups, affine Kac-Moody algebras and the Virasoro algebra from a unitary point of view. The treatment uses many of the methods of conformal field theory, in particular the Goddard-Kent-Olive construction and the Kazami-Suzuki supercharge operator, a generalisation of the Dirac operator. The proof of the Weyl character formula is taken from unpublished notes of Peter Goddard. The supersymmetric proof of the Kac character formula for affine Kac-Moody algebras was also found independently at roughly the same time by Greg Landweber in his Harvard Ph.D. dissertation. One of the main novelties of this approach is a very rapid proof of the Feigin-Fuchs character formula for the discrete series representations of the Virasoro algebra. It relies only on the first part of the Friedan-Qiu-Shenker unitarity theorem placing restrictions on the parameter h. Their result, which only uses elementary properties of plane curves, is presented in detail in these notes along with the somewhat harder result for c. A substantially shorter treatment is possible if the final goal is just the Feigin-Fuchs formula, since in that case only the representation theory of affine sl(2) is needed (cf the MSRI summer course given in 2000, http://www.msri.org/publications/ln/msri/2000/opal/wassermann/). The same method has been applied by S. Palcoux to the Neveu-Schwarz algebra and also works for the N=2 superconformal algebra.

研究动机与目标

• 利用超对称性发展仿射卡克斯–莫迪与维拉索罗代数的幺正表示理论。
• 通过狄拉克算子与指标理论，为正能表示提供几何与代数框架。
• 利用超电荷算子与谱分析推导特征标公式与幺正性判据。
• 为仿射卡克斯–莫迪代数的幺正正能表示建立“无鬼”定理。
• 通过量化与指标理论方法，将有限维李理论与无限维共形场论联系起来。

提出的方法

• 在有限维中使用费米子与玻色子的量化，构造旋量群与梅塔普利克群。
• 应用狄拉克算子及其平方，推导外尔特征标公式与卡西米尔特征值。
• 采用卡扎马–鈴木与戈达德–肯特–歐文构造中的超电荷算子，分析幺正性。
• 利用卡克斯行列式公式与谱投影技术，研究韦尔马模的结构。
• 应用双重交换子定理与克利福德代数形式，定义旋量表示。
• 使用苏瓦拉构造，通过 $L_0$ 将维拉索罗代数嵌入仿射卡克斯–莫迪代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地利用超对称性发展仿射卡克斯–莫迪代数的表示理论？
• RQ2 狄拉克算子及其平方在推导特征标公式与卡西米尔特征值中起什么作用？
• RQ3 卡克斯行列式与弗里丹–邱–申克尔判据如何决定维拉索罗表示的幺正性？
• RQ4 “无鬼”定理以何种方式确保正能表示的幺正性？
• RQ5 矩阵 $M_N(c,h)$ 的谱性质如何决定韦尔马模及其子模的结构？

主要发现

• 通过超电荷算子与狄拉克算子的谱分析，推导出卡克斯特征标公式。
• 弗里丹–邱–申克尔幺正性判据对中心荷 $c$ 与最低权 $h$ 均成立。
• 为正能表示证明了“无鬼”定理，通过无负范数态的存在确保幺正性。
• 矩阵 $M_N(c,h)$ 在曲线 $C_{p'q'}$ 上有一维核，其行列式在 $c=1$ 处变号，表明存在谱相变。
• 谱投影 $P(z)$ 在 $C_{p'q'}$ 附近连续且定义良好，满足 $P(z)A(z) = A(z)P(z) = \lambda(z)P(z)$，且在 $c<1$ 侧有 $\lambda(z) < 0$。
• 超电荷算子的平方为非负算子，其核对应于多重性空间中的最高权态。