[论文解读] Kac-Moody symmetric spaces

Walter Freyn, Hartnick, Tobias+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 43被引用 6

一句话总结

本文引入了Kac–Moody对称空间作为拓扑反射空间，推广了非紧致分裂型的黎曼对称空间，利用满足公理(RS1)–(RS4)的连续点反射映射。研究证明，非球面对称的非仿射不可约Kac–Moody对称空间具有不变的因果结构，导致其未来与过去边界同胚于底层Kac–Moody群的孪建筑两半的几何实现，并表明自同构由其在这些边界上的作用唯一确定。

ABSTRACT

In the present article we introduce and study a class of topological reflection spaces that we call Kac-Moody symmetric spaces. These generalize Riemannian symmetric spaces of non-compact type. We observe that in a non-spherical Kac-Moody symmetric space there exist pairs of points that do not lie on a common geodesic; however, any two points can be connected by a chain of geodesic segments. We moreover classify maximal flats in Kac-Moody symmetric spaces and study their intersection patterns, leading to a classification of global and local automorphisms. Unlike Riemannian symmetric spaces, non-spherical non-affine irreducible Kac-Moody symmetric spaces also admit an invariant causal structure. For causal and anti-causal geodesic rays with respect to this structure we find a notion of asymptoticity, which allows us to define a future and past boundary of such Kac-Moody symmetric space. We show that these boundaries carry a natural polyhedral structure and are cellularly isomorphic to the halves of the geometric realization of the twin buildings of the underlying split real Kac-Moody group. We also show that every automorphism of the symmetric space is uniquely determined by the induced cellular automorphism of the future and past boundary. The invariant causal structure on a non-spherical non-affine irreducible Kac-Moody symmetric space gives rise to an invariant pre-order on the underlying space, and thus to a subsemigroup of the Kac-Moody group. We conclude that while in some aspects Kac-Moody symmetric spaces closely resemble Riemannian symmetric spaces, in other aspects they behave similarly to ordered affine hovels, their non-Archimedean cousins.

研究动机与目标

• 发展一种无需光滑性假设的拓扑对称空间理论，推广黎曼对称空间。
• 为分裂实Kac–Moody群构造一个拓扑对称空间，扩展半单李群在黎曼对称空间上的作用。
• 对Kac–Moody对称空间中的极大平坦子集及其交集模式进行分类。
• 在非球面对称的非仿射不可约Kac–Moody对称空间上定义并研究一个不变的因果结构。
• 通过因果测地线射线的渐近性构造未来与过去边界，并证明其与孪建筑实现的胞复形同构。

提出的方法

• 采用基于Loos公理(RS1)–(RS4)的拓扑反射空间框架，以点反射映射的连续性替代光滑性要求。
• 利用Weyl群在Cartan子代数上的约化Kac–Moody表示来定义对称空间的底层几何结构。
• 通过Cartan子代数上由典范同痕类的双线性型诱导的不变预序关系来定义因果测地线射线。
• 引入因果与反因果测地线射线的渐近性概念，以定义未来与过去边界。
• 将边界构造为多面体胞复形，并证明其与Kac–Moody群孪建筑两半的几何实现胞复形同构。
• 证明对称空间的每个自同构均由其在将来与过去边界上诱导的胞复形自同构唯一确定。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否仅基于拓扑与反射结构，不依赖光滑性或度量性，定义黎曼对称空间的推广？
• RQ2 非球面对称的非仿射Kac–Moody对称空间是否具有不变的因果结构？若有，其与群几何有何关联？
• RQ3 能否利用因果测地线射线的渐近行为定义一个编码对称空间整体几何的边界结构？
• RQ4 此类对称空间的未来与过去边界是否与底层Kac–Moody群的孪建筑实现胞复形同构？
• RQ5 对称空间的自同构在多大程度上由其在边界上的作用唯一确定？

主要发现

• 非球面对称的Kac–Moody对称空间中，任意两点之间不一定存在测地线段，但任意两点可通过一系列测地线段连接。
• Kac–Moody对称空间中的极大平坦子集已被分类，其交集模式亦被完整描述，从而实现了全局与局部自同构的分类。
• 非球面对称的非仿射不可约Kac–Moody对称空间具有不变的因果结构，该结构诱导空间上的预序关系，并生成Kac–Moody群的一个子半群。
• 此类对称空间的未来与过去边界具有自然的多面体胞复形结构，且与底层Kac–Moody群孪建筑两半的几何实现胞复形同构。
• 对称空间的每个自同构均由其在将来与过去边界上诱导的胞复形自同构唯一确定。
• Cartan子代数上典范同痕类的双线性型被表征为唯一满足如下性质的类：保持奇异超平面补集的线性映射群作用为相似变换。