[论文解读] Kadanoff-Baym equations for near-Kolmogorov turbulence

Esteban Calzetta|ArXiv.org|Aug 27, 2009

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 29被引用 3

一句话总结

本文利用两粒子不可约（2PI）舒尔明-凯尔迪什有效作用量，为近科莫戈罗夫湍流形式化了卡丹诺夫-贝姆方程，推导出不可压缩、均匀湍流中速度与压强关联的自洽动力学框架。关键成果是推导出描述惯性区向科莫戈罗夫标度趋近的输运方程，并从形式体系中明确验证了科莫戈罗夫 4/5 定律。

ABSTRACT

We use the 2 particle irreducible Schwinger-Keldysh effective action to set up consistent equations for the velocity and pressure correlations of a turbulent flow. We use these equations to derive the Kadanoff-Baym equations describing the relaxation to Kolmogorov turbulence in the absence of mean velocities.

研究动机与目标

• 使用 2PI 興德-凱爾迪什有效作用量，发展湍流的自洽场论框架。
• 推导不可压缩、均匀湍流中速度与压强关联的动力学方程。
• 描述接近均匀的流动在惯性区向科莫戈罗夫标度弛豫的动力学过程。
• 在 2PI CTP 形式体系中验证科莫戈罗夫 4/5 定律，作为对框架一致性的检验。

提出的方法

• 为带有随机强迫的不可压缩纳维-斯托克斯方程形式化两粒子不可约（2PI）闭时路径（CTP）有效作用量。
• 推导速度场与压强场两点关联函数的施温格-戴森方程。
• 在自能中施加随机伽利略不变性（RGI），以确保物理一致性。
• 对运动方程应用傅里叶变换，以分析惯性区的动力学行为。
• 利用求和规则与各向同性约束，确定三点关联函数的结构。
• 通过从形式体系中计算三阶速度结构函数，验证科莫戈罗夫 4/5 定律。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用变分 2PI 有效作用量形式体系，一致地推导湍流的卡丹诺夫-贝姆方程？
• RQ2 随机伽利略不变性在无平均流条件下，对确保自能物理一致性起到何种作用？
• RQ3 该形式体系如何描述接近均匀的流动向科莫戈罗夫标度的弛豫过程？
• RQ4 能否在不预先假设能量谱的前提下，从 2PI CTP 有效作用量中推导出科莫戈罗夫 4/5 定律？
• RQ5 在惯性区中，三点关联函数的结构是怎样的？它与能量通量有何关联？

主要发现

• 在惯性区中，三点关联函数被证明与 $ \frac{1}{k^2} (\Delta^{rt} k^s + \Delta^{st} k^r) $ 成正比，系数为 $ A = \frac{1}{2}(2\pi)^d \epsilon \delta(\mathbf{k}) $，与能量通量守恒一致。
• 科莫戈罗夫 4/5 定律从 2PI CTP 形式体系中推导得出，三阶结构函数给出 $ \langle (\mathbf{x} \cdot [\mathbf{u}(\mathbf{x}) - \mathbf{u}(0)])^3 \rangle = -\frac{4}{5} \epsilon r^4 $。
• 两点关联函数满足 $ F_1 = -\frac{1}{12} \epsilon r^2 $，与二阶结构函数预期的 $ r^2 $ 标度一致。
• 该形式体系在无需人为假设的前提下，重现了卡曼-豪瑟方程与科莫戈罗夫 4/5 定律，验证了其自洽性。
• 利用求和规则 $ i\int d\omega \, \omega \, G^{r+,t+} = 0 $ 表明，在惯性区中裸驱动力与粘性可忽略，导致三点函数动量空间积分消失。
• 推导证实，能量通量 $ \epsilon $ 被编码在三点函数的 $ \delta(\mathbf{k}) $-奇点中，直接将形式体系与物理级联速率联系起来。