[论文解读] Kadec norms on spaces of continuous functions

Max Burke, Wiesław Kubiś+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2003

Advanced Banach Space Theory参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文证明了连续函数空间 $C(K)$ 存在逐点 Kadec 范数等价性，证明当 $K$ 为紧致线性序空间的积时，此类范数等价性存在，并将结果推广至 $K_1 \times K_2$ 的情形，其中 $C(K_1)$ 具有逐点 Kadec 范数等价性且 $K_2$ 属于在连续超限收缩列的逆极限下封闭的类。此外，本文还证明了 Kadec 性质的三空间性质，解决了 [LZ] 中提出的问题。

ABSTRACT

We study the existence of pointwise Kadec renormings for Banach spaces of the form $C(K)$. We show in particular that such a renorming exists when $K$ is any product of compact linearly ordered spaces, extending the result for a single factor due to Haydon, Jayne, Namioka and Rogers. We show that if $C(K_1)$ has a pointwise Kadec renorming and $K_2$ belongs to the class of spaces obtained by closing the class of compact metrizable spaces under inverse limits of transfinite continuous sequences of retractions, then $C(K_1 imes K_2)$ has a pointwise Kadec renorming. We also prove a version of the three-space property for such renormings.

研究动机与目标

• 研究紧致空间 $K$ 上的 $C(K)$ 是否存在逐点 Kadec 范数等价性。
• 将单个紧致线性序空间上 Kadec 范数等价性的已知结果推广至任意此类空间的积。
• 建立当 $C(K_1)$ 具有逐点 Kadec 范数等价性且 $K_2$ 属于特定紧致空间类时，$C(K_1 \times K_2)$ 具有逐点 Kadec 范数等价性的条件。
• 通过证明 Kadec 性质的三空间性质，解决 [LZ] 中提出的问题，将 Kadec-Klee 条件替换为较弱的 Kadec 条件。
• 澄清乘积空间与对偶空间中范数 SLD 与逐点 Kadec 范数等价性之间的关系。

提出的方法

• 利用 $\tau_p$-Kadec 范数等价性的刻画：通过由凸集构成的可数覆盖，其局部范数直径较小。
• 应用连续超限收缩列的逆极限构造并分析使得 $C(K_1 \times K_2)$ 具有逐点 Kadec 范数等价性的紧致空间类 $K_2$。
• 采用 $\tau_p$-下半连续 LUR 范数及其与逐点拓扑相容的性质，将范数等价性从子空间扩展至更大空间。
• 利用商映射的 $({\tau},{\tau}')$-连续性与 LUR 性质，证明投影在范数拓扑下的收敛性。
• 应用三空间性质框架，证明若 $C_0(X)$ 具有 $\tau_p$-Kadec 范数等价性且 $C(K\setminus X)$ 具有 $\tau_p$-下确界连续 LUR 范数等价性，则 $C(K)$ 具有 $\tau_p$-Kadec 范数等价性。
• 利用 $\tau_p$-Kadec 范数等价性与单位球面上由 $\tau_p$-开集与凸集交集构成的可数网络之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $K$ 为紧致线性序空间的积时，$C(K)$ 是否存在 $\tau_p$-Kadec 范数等价性？
• RQ2 在 $C(K_1)$ 具有 $\tau_p$-Kadec 范数等价性时，$K_1$ 与 $K_2$ 需满足何种条件，使得 $C(K_1 \times K_2)$ 具有 $\tau_p$-Kadec 范数等价性？
• RQ3 是否存在 $\tau_p$-Kadec 范数等价性的三空间性质？在这些结果中，能否将 Kadec-Klee 条件替换为 Kadec 条件？
• RQ4 能否将范数 SLD 性质推广至乘积空间中的 $\tau_p$-Kadec 范数等价性？
• RQ5 $\tau_p$-下确界连续 LUR 范数在从子空间向更大函数空间扩展范数等价性中起何作用？

主要发现

• 对于任意紧致线性序空间的积 $K$，$C(K)$ 存在 $\tau_p$-Kadec 范数等价性，推广了 Haydon、Jayne、Namioka 和 Rogers 在可数积情形下的结果。
• 若 $C(K_1)$ 具有 $\tau_p$-Kadec 范数等价性，且 $K_2$ 属于通过在连续超限收缩列的逆极限下封闭紧致可度量化空间所得到的类，则 $C(K_1 \times K_2)$ 存在 $\tau_p$-Kadec 范数等价性。
• Kadec 性质的三空间性质成立：若子空间 $Y \subseteq X$ 满足 $Y$ 具有 $\tau_p$-Kadec 性质，且 $X/Y$ 具有 LUR 范数等价性，则 $X$ 具有 $\tau_p$-Kadec 性质。
• 若 $C_0(X)$ 具有 $\tau_p$-Kadec 范数等价性，且 $C(K\setminus X)$ 具有 $\tau_p$-下确界连续 LUR 范数等价性，则 $C(K)$ 具有 $\tau_p$-Kadec 范数等价性。
• 本文通过证明 Kadec-Klee 条件可被更弱的 Kadec 条件替代，解决了 [LZ] 中的开放问题。
• 作者证明了 $\tau_p$-Kadec 范数等价性等价于单位球面存在一个由凸集构成的可数覆盖，使得 $\tau_p$-开集与这些凸集的交集构成范数拓扑的网络。