[论文解读] Kaehler-Einstein metrics on orbifolds and Einstein metrics on spheres

Alessandro Ghigi, Janós Kollár|ArXiv.org|Jul 14, 2005

Geometry and complex manifolds参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文将 Arezzo-Ghigi-Pirola 方法从通过伽罗瓦覆叠构造流形上的凯勒爱因斯坦度量推广至伽罗瓦群平凡的轨道流形，实现了对奇数维球面的新爱因斯坦度量以及具有 $A_1$ 或 $A_2$ 奇点的 2 次德尔佩佐表面的新凯勒爱因斯坦度量的构造。关键进展在于存在性界限相比以往工作提高了 $n$ 倍，从而在 $S^9$ 上获得了超过 $10^6$ 个新爱因斯坦度量。

ABSTRACT

A construction of Kaehler-Einstein metrics using Galois coverings, studied by Arezzo-Ghigi-Pirola, is generalized to orbifolds. By applying it to certain orbifold covers of P^n which are trivial set theoretically, one obtains new Einstein metrics on odd-dimensional spheres. The method also gives Kaehler-Einstein metrics on degree 2 Del Pezzo surfaces with A_1 or A_2-singularities.

研究动机与目标

• 将 Arezzo-Ghigi-Pirola 方法从通过伽罗瓦覆叠构造流形上凯勒爱因斯坦度量推广至伽罗瓦群平凡的轨道流形情形。
• 将此推广方法应用于非平凡的轨道范畴内的恒等映射 $\pi: (\mathbb{P}^n, \Delta) \to \mathbb{P}^n$，从而实现凯勒爱因斯坦度量的新构造。
• 利用小林提升定理，从 $\mathbb{P}^n$ 上带有 $\mathbb{Q}$-除子的轨道凯勒爱因斯坦度量，获得奇数维球面上的新爱因斯坦度量。
• 改进 $\mathbb{P}^n$ 上具有 $n+2$ 个超平面与 $\mathbb{Q}$-除子的轨道凯勒爱因斯坦度量的存在性界限，相较于 Boyer-Galicki-Kollár 的结果提高 $n$ 倍。
• 使用相同方法构造具有 $A_1$ 或 $A_2$ 奇点的 2 次德尔佩佐表面的新凯勒爱因斯坦度量例子。

提出的方法

• 将伽罗瓦覆叠方法从流形推广至轨道流形，重点关注在集合论上平凡但作为轨道覆叠非平凡的恒等映射 $\pi: (\mathbb{P}^n, \Delta) \to \mathbb{P}^n$。
• 利用 $\mathbb{Q}$-除子 $\Delta = \sum_{i=0}^{n+1} (1 - \frac{1}{m_i}) D_i$ 定义轨道结构，其中 $D_i$ 是 $\mathbb{P}^n$ 中处于一般位置的超平面。
• 应用基于条件 $1 < \sum_{i=0}^{n+1} \frac{1}{m_i} < 1 + (n+1) \min_i \frac{1}{m_i}$ 的轨道凯勒爱因斯坦度量存在性准则，该条件相比 Boyer-Galicki-Kollár 的界限提高了 $n$ 倍。
• 利用加权射影空间 $\mathbb{P}(w_0, \dots, w_{n+1})$ 与 $\mathbb{P}^{n+1}$ 之间的同构关系（通过 $z_i \mapsto x_i = z_i^{m_i}$），将轨道对 $(X, \Delta_X)$ 识别为 $(\mathbb{P}^n, \Delta)$。
• 利用小林提升定理，将 $(\mathbb{P}^n, \Delta)$ 上的轨道凯勒爱因斯坦度量提升至 $\mathbb{C}^{n+2}$ 中的链 $L(m_0, \dots, m_{n+1})$ 上的爱因斯坦度量，其微分同胚于 $S^{2n+1}$。
• 通过分析在四次曲线上分支的双覆盖 $\pi: S \to \mathbb{P}^2$，将该方法应用于具有 $A_{n-1}$ 奇点的 2 次德尔佩佐表面，并验证 $\eta^{-\lambda}$ 对 $\lambda \leq \frac{1}{2}$ 的可积性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Arezzo-Ghigi-Pirola 方法能否从通过伽罗瓦覆叠构造凯勒爱因斯坦度量推广至伽罗瓦群平凡的轨道流形？
• RQ2 改进后的界限 $1 < \sum \frac{1}{m_i} < 1 + (n+1) \min \frac{1}{m_i}$ 是否能保证在具有 $n+2$ 个超平面的 $ (\mathbb{P}^n, \sum (1 - \frac{1}{m_i}) D_i) $ 上存在凯勒爱因斯坦度量？
• RQ3 在 $ (\mathbb{P}^n, \Delta) $ 上得到的轨道凯勒爱因斯坦度量能否通过链构造在球面 $S^{2n+1}$ 上提升为爱因斯坦度量？
• RQ4 改进后的界限是否能产生超越 Boyer-Galicki-Kollár 已知结果的新奇数维球面爱因斯坦度量？
• RQ5 该方法能否用于构造具有 $A_1$ 或 $A_2$ 奇点的奇异德尔佩佐表面（如 2 次表面）上的凯勒爱因斯坦度量？

主要发现

• 本文建立了 $ (\mathbb{P}^n, \sum_{i=0}^{n+1} (1 - \frac{1}{m_i}) D_i) $ 上轨道凯勒爱因斯坦度量的新存在性准则，要求满足 $1 < \sum_{i=0}^{n+1} \frac{1}{m_i} < 1 + (n+1) \min_i \frac{1}{m_i}$，相比 Boyer-Galicki-Kollár 的界限提高了 $n$ 倍。
• 当 $m_0=2, m_1=3, m_2=5$，且 $m_3 \in \{17,19,23,29,31,37,41,43,47,49,53,59\}$ 时，条件可产生 12 个 $S^5$ 上的新爱因斯坦度量。
• 该方法在 $S^7$ 上产生至少 $10^3$ 个新爱因斯坦度量，在 $S^9$ 上产生 $10^6$ 个，依此类推，适用于更高奇数维。
• 该构造适用于具有 $A_1$ 或 $A_2$ 奇点的 2 次德尔佩佐表面，证明其可通过 $\eta^{-\lambda}$ 对 $\lambda \leq \frac{1}{2}$ 的可积性而拥有轨道凯勒爱因斯坦度量。
• 该方法通过轨道凯勒爱因斯坦准则，以新证明方式确认了对角化四次德尔佩佐表面（4 次）存在轨道凯勒爱因斯坦度量，此前由 Mabuchi 和 Mukai 所证明。
• Brieskorn–Pham 奇点链与 $S^{2n+1}$ 之间的同构，结合轨道度量，确保球面上的爱因斯坦度量在 $m_i$ 值确定下至多相差等距同构，仅在 $n$ 为奇数时存在极少数具有全纯接触结构的情形。