[论文解读] Kaehler spaces, nilpotent orbits, and singular reduction

Johannes Huebschmann|ArXiv.org|Apr 23, 2001

Geometry and complex manifolds参考文献 47被引用 4

一句话总结

本文引入分层凯勒空间作为统一幂零轨道、奇异辛约化以及泊松几何中复解析结构的框架。它证明了在酉型实半单李代数中的全纯幂零轨道的闭包携带正的法向凯勒结构，并表明正凯勒流形的辛约化产生分层凯勒空间，其中极化函数与全纯函数一致，从而将不变量理论、若尔当代数系与杨-米尔斯联络模空间联系起来。

ABSTRACT

For a stratified symplectic space, a suitable concept of stratified Kaehler polarization, defined in terms of an appropriate Lie-Rinehart algebra, encapsulates Kaehler polarizations on the strata and the behaviour of the polarizations across the strata and leads to the notion of stratified Kaehler space. This notion establishes an intimate relationship between nilpotent orbits, singular reduction, invariant theory, reductive dual pairs, Jordan triple systems, symmetric domains, and pre-homogeneous spaces; in particular, in the world of singular Poisson geometry, the closures of principal holomorphic nilpotent orbits, positive definite hermitian JTS's, and certain pre-homogeneous spaces appear as different incarnations of the same structure. The space of representations of the fundamental group of a closed surface in a compact Lie group inherits a (positive) normal (stratified) Kaehler structure, as does the closure of a holomorphic nilpotent orbit in a semisimple Lie algebra of hermitian type. The closure of the principal holomorphic nilpotent orbit arises from a regular semisimple holomorphic orbit by contraction. Symplectic reduction carries a (positive) Kaehler manifold to a (positive) normal Kaehler space in such a way that the sheaf of germs of polarized functions thereupon coincides with the ordinary sheaf of germs of holomorphic functions. Symplectic reduction establishes a close relationship between singular reduced spaces and nilpotent orbits of the dual groups. Projectivization of holomorphic nilpotent orbits yields exotic stratified Kaehler structures on complex projective spaces and on certain complex projective varieties including complex projective quadrics. Physical examples are provided by certain reduced spaces arising from angular momentum zero.

研究动机与目标

• 开发在约化空间非光滑时的奇异辛约化几何框架。
• 理解由辛约化产生的奇异空间中复解析结构与泊松结构之间的相互作用。
• 建立全纯幂零轨道、预齐次空间与中心杨-米尔斯联络模空间之间的对应关系。
• 阐明在标准几何量子化失效的奇异情形下凯勒极化的作用。
• 证明辛约化在奇异情形下保持凯勒结构，从而产生具有良好行为全纯函数的分层凯勒空间。

提出的方法

• 将分层凯勒空间的概念引入为凯勒流形在奇异空间上的推广，结合各层上的辛、复与凯勒结构。
• 利用Cartan分解中p分量上的H元与复结构，在酉型实半单李代数中定义全纯幂零轨道。
• 通过紧致群作用下正凯勒流形的辛约化构造分层凯勒空间，证明极化函数的层与全纯函数的层一致。
• 分析主全纯幂零轨道的闭包作为具有正凯勒结构的正规复解析空间，其通过半单全纯轨道的收缩而产生。
• 证明在闭曲面上的中心杨-米尔斯联络模空间以及在紧致李群中基本群表示的模空间继承了分层凯勒结构。
• 利用李代数到其p分量的投影，将来自嵌入g中的辛结构与来自嵌入p中的复结构联系起来，形成分层凯勒空间的局部模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在酉型实半单李代数中全纯幂零轨道的闭包上一致地定义分层凯勒结构？
• RQ2 正凯勒流形的辛约化是否产生一个分层凯勒空间，使得极化函数的层与全纯函数的层一致？
• RQ3 在曲面上的中心杨-米尔斯联络模空间是否自然地配备正的法向分层凯勒结构？
• RQ4 能否在奇异的分层凯勒空间（如具有二次曲面奇异点的复射影空间）上构造局部凯勒势，这些空间源于约化？
• RQ5 在由约化产生的分层凯勒空间中，连续函数的泊松括号在每层上是否光滑，并在各层之间连续？

主要发现

• 在酉型实半单李代数中，全纯幂零轨道的闭包携带正的法向凯勒结构。
• 通过紧致群作用对正凯勒流形进行辛约化，产生一个分层凯勒空间，其极化函数芽层与全纯函数芽层一致。
• 在闭曲面上主丛上的中心杨-米尔斯联络模空间继承了正的法向（分层）凯勒结构。
• 全纯幂零轨道的射影化在复射影空间与某些复射影代数簇（包括二次曲面）上产生奇异的（正的）分层凯勒结构。
• 主全纯幂零轨道的闭包通过半单全纯轨道的收缩而产生，将轨道几何与表示理论联系起来。
• 对于q ≥ 5，具有二次曲面奇异点的奇异复射影空间可能无法构造出确定分层凯勒结构的局部凯勒势，暗示在非再性情形下此类势的存在性可能存在反例。