[论文解读] Kakutani type Borsuk-Ulam theorem

Oleg R. Musin|arXiv (Cornell University)|May 7, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文建立了具有自由对合作用的紧致PL流形上的Kakutani型不动点定理，将Borsuk–Ulam定理推广至集值映射。证明了若此类流形上的集值函数具有闭图、凸值，并满足对径对称条件，则存在一点，其在该函数下的像包含R^d中的原点。

ABSTRACT

In this paper we present a Kakutani type theorem that is equivalent to the Borsuk--Ulam theorem for manifolds.

研究动机与目标

• 将Borsuk–Ulam定理推广至具有自由对合作用的紧致PL流形上的集值映射。
• 为满足对径对称与闭图条件的集值函数建立不动点型结果。
• 在对称性与凸性约束下，刻画集值函数的像包含原点的点的存在性。
• 将Kakutani不动点定理推广至BUT（Borsuk–Ulam型）流形的设定。
• 提供一个拓扑条件，确保原点位于对称流形上集值函数的像中。

提出的方法

• 将BUT（Borsuk–Ulam型）流形定义为具有自由单纯对合A的紧致PL流形M，使得任意连续映射f:M→R^d满足f(A(x)) = -f(x)时必有零点。
• 构造流形M的一系列对径三角剖分{T_i}，其网格尺寸|T_i| → 0。
• 通过为对应顶点x和A(x)分别赋值y ∈ F(x)与-y ∈ F(A(x))，定义一个分段线性对径映射f_i:M→R^d。
• 利用M的BUT性质，保证每个f_i都有零点，即存在x_i ∈ M使得f_i(x_i) = 0。
• 利用M的紧致性，提取x_i、y_k^i与重心坐标t_k^i的收敛子列。
• 利用F的闭图性质与F(x)的凸性，证明极限点x_0满足0 ∈ F(x_0)。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，BUT流形上的集值函数会存在一个像包含原点的点？
• RQ2 Kakutani不动点定理如何推广至具有自由对合与对径对称性的流形？
• RQ3 何种拓扑条件可确保对称集值映射在流形上x与A(x)的像具有公共交点？
• RQ4 Borsuk–Ulam定理能否推广至具有凸值与对称性的集值映射？
• RQ5 闭图性质在确保集值映射存在对称零点的过程中起何种作用？

主要发现

• 对于任意具有自由对合A的紧致PL BUT-流形M，若F:M→2^{R^d}具有闭图且非空凸值，并满足y∈F(x) ⇒ -y∈F(A(x))，则存在x_0∈M使得0∈F(x_0)。
• 由于M的BUT性质，保证了分段线性对径逼近f_i存在零点。
• f_i的零点序列x_i的极限收敛于一点x_0，使得0属于包含x_i的单形的顶点像的凸包。
• 由于闭图条件，f_i(v_k^i)的极限点y_k属于F(x_0)，且因F(x_0)为凸集，故0∈F(x_0)。
• Minkowski差构造产生一个满足f(A(x)) = -f(x)的映射，从而可归约为主定理，并证明推论1。
• 推论1表明，对于此类F，由于Minkowski差的对称结构，F(x_0)与F(A(x_0))必有非空交集。