[论文解读] Kalman filter in quantum language

Shiro Ishikawa, Kohshi Kikuchi|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2014

Quantum Mechanics and Applications参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文提出，通过量子语言（量子测量理论），可以更直观地理解卡尔曼滤波器。该研究将递归贝叶斯估计重新表述为在$W^*$-代数框架下的顺序测量过程。通过在统计测量理论（SMT）形式下，使用可观测量和条件概率对状态和观测动态进行建模，作者推导出一个贝叶斯-卡尔曼算子，该算子在单一量子语言框架下统一了预测、滤波和平滑。结果表明，与经典统计学相比，该形式化框架使卡尔曼滤波器的逻辑更加清晰。

ABSTRACT

Recently, we proposed measurement theory ( or. quantum language) as a linguistic turn of quantum mechanics (with the Copenhagen interpretation). This theory has a great power of scientific descriptions. In fact, we have continued asserting that even statistics can be described in terms of measurement theory. Thus, we believe that quantum language is future statistics (i.e., statistics will develop into quantum language). However, now we think that our arguments were too abstract and philosophical, that is, we should have presented concrete examples much more. Thus, in this paper, we show that the calculation of Kalman filter is more understandable in terms of quantum language than in terms of usual statistics. For this, we devote ourselves to statistical measurement theory, in which the Bertrand paradox is discussed.

研究动机与目标

• 证明卡尔曼滤波器的递归估计过程在量子语言中比在经典统计框架中更自然地表达。
• 通过将统计测量理论（SMT）应用于动态系统，弥合贝叶斯统计与量子测量理论之间的鸿沟。
• 将卡尔曼滤波器重新表述为在$W^*$-代数结构中涉及可观测量、状态和条件概率的顺序测量过程。
• 表明当通过量子语言的视角审视时，卡尔曼滤波器的概念清晰度得到提升，尤其是在处理预测、滤波和平滑方面。

提出的方法

• 在经典统计测量理论（SMT）中形式化卡尔曼滤波器，采用$W^*$-代数框架，其中状态由概率密度表示，可观测量由投影值测度表示。
• 使用参数为$a_t, b_t, r_t$和$c_t, d_t, q_t$的高斯型可观测量，分别对状态转移和观测过程进行建模，以描述系统状态和测量动态。
• 将贝叶斯-卡尔曼算子推导为一个条件更新规则，通过将先验状态密度$\rho_s(\omega_s)$与似然$\widetilde{f}_{x_s}(\omega_s)$相乘并归一化，得到后验密度。
• 通过时间迭代传播密度，将时间$s$的后验表示为先验与似然的乘积，并通过$L^\infty$-范数归一化，从而实现递归计算。
• 引入变量变换$\widetilde{u}_t, \widetilde{v}_t$与$u_{t-1}, v_{t-1}$，将高斯函数的卷积简化为单一高斯形式，同时保持卡尔曼更新的结构。
• 将该框架应用于三种情形：预测（$s > n$）、滤波（$s = n$）和平滑（$s < n$），三者均由单一算子$B_{\widehat{\mathsf{O}}_{t_0}}^s$统一描述。

实验结果

研究问题

• RQ1 卡尔曼滤波器的递归贝叶斯更新是否能比经典统计表述更自然地通过量子语言来解释？
• RQ2 在$W^*$-代数框架下，统计测量理论的形式化如何阐明卡尔曼滤波、预测和平滑的结构？
• RQ3 贝叶斯-卡尔曼算子在单一测量理论框架下，如何统一预测、滤波和平滑？
• RQ4 变换$\widetilde{u}_t, \widetilde{v}_t$与$u_{t-1}, v_{t-1}$如何简化卡尔曼更新中高斯密度乘积的运算？

主要发现

• 卡尔曼滤波器的递归更新被重新表述为$W^*$-代数框架下的顺序测量过程，其中后验状态通过先验密度与似然的归一化乘积获得，表达式为$[B_{\widehat{\mathsf{O}}_{t_0}}^s(\times_{t\in T}\{x_t\})]\rho_0(\omega_s) = \frac{\widetilde{f}_{x_s}(\omega_s) \cdot \rho_s(\omega_s)}{\int \widetilde{f}_{x_s}(\omega_s) \cdot \rho_s(\omega_s) d\omega_s}$。
• 似然函数$\widetilde{f}_{x_s}(\omega_s)$被证明近似为高斯分布，其有效参数$\widetilde{u}_{s}, \widetilde{v}_{s}$通过原始系统与观测参数的递归变换推导得出。
• 变换$u_{t-1} = -\frac{a_t \widetilde{u}_t}{\sqrt{1 + r_t^2 \widetilde{u}_t^2}}$, $v_{t-1} = \frac{b_t \widetilde{u}_t - \widetilde{v}_t}{\sqrt{1 + r_t^2 \widetilde{u}_t^2}}$使得状态转移噪声与观测噪声被合并为一个等效的高斯似然。
• 最终的后验密度$\widetilde{f}_{x_s}(\omega_s)$被推导为两个高斯函数的乘积：一个来自先验状态，一个来自似然，结果为一个具有更新精度和均值的单一高斯分布，与标准卡尔曼更新一致。
• 该框架通过单一算子$B_{\widehat{\mathsf{O}}_{t_0}}^s$统一了预测、滤波和平滑，其中$s = n$对应滤波，$s < n$对应平滑。
• 作者得出结论：量子语言形式化为卡尔曼滤波器提供了比经典统计学更高的概念清晰度，暗示未来统计学将向量子语言演进。