[论文解读] Kalman filtering for linear wave equations with model error

Wonjung Lee, Damon McDougall+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2011

Target Tracking and Data Fusion in Sensor Networks被引用 1

一句话总结

本文研究了模型误差对线性波方程卡尔曼滤波的影响，表明即使模型误差很小，在大数据极限下也可能导致信号恢复不一致。研究发现，时间依赖的速率误差允许实现精确滤波但无法实现精确平滑，并提出一种松弛模型方法，以在存在误差的情况下恢复一致性。

ABSTRACT

Filtering is a widely used methodology for the incorporation of observed data into time-evolving systems. It provides an online approach to state estimation inverse problems when data is acquired sequentially. The Kalman filter plays a central role in many applications because it is exact for linear systems subject to Gaussian noise, and because it forms the basis for many approximate filters which are used in high dimensional systems. The aim of this paper is to study the effect of model error on the Kalman filter, in the context of linear wave propagation problems. A consistency result is proved when no model error is present, showing recovery of the true signal in the large data limit. This result, however, is not robust: it is also proved that arbitrarily small model error can lead to inconsistent recovery of the signal in the large data limit. If the model error is in the form of a constant shift to the velocity, the filtering and smoothing distributions only recover a partial Fourier expansion, a phenomenon related to aliasing. On the other hand, for a class of wave velocity model errors which are time-dependent, it is possible to recover the filtering distribution exactly, but not the smoothing distribution. Numerical results are presented which corroborate the theory, and also to propose a computational approach which overcomes the inconsistency in the presence of model error, by relaxing the model.

研究动机与目标

• 分析模型误差如何影响线性波传播问题中卡尔曼滤波的一致性。
• 识别在大量数据下滤波和平滑分布无法恢复真实信号的条件。
• 探讨时间依赖的模型误差是否允许在平滑不一致的情况下实现精确滤波。
• 开发一种计算松弛策略，以在存在模型误差时恢复一致性。

提出的方法

• 使用理论框架研究带有附加模型误差的线性波方程的卡尔曼滤波。
• 应用一致性分析以评估大数据极限下的信号恢复效果。
• 分析恒定速度偏移和时间依赖速度误差对滤波和平滑分布的影响。
• 推导出即使存在模型误差，滤波仍能保持精确的条件，特别是针对时间依赖误差。
• 提出一种松弛模型方法，通过调整系统动力学以抵消模型误差的影响。
• 通过波传播场景的数值实验验证理论结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，模型误差会导致线性波方程卡尔曼滤波中信号恢复不一致？
• RQ2 恒定误差与时间依赖误差如何影响滤波和平滑分布？
• RQ3 是否可能在存在模型误差的情况下实现精确滤波，若可以，其条件是什么？
• RQ4 当存在模型误差时，是否可能恢复滤波的一致性，以及如何通过计算手段实现？
• RQ5 混叠在模型误差下信号恢复失败中起什么作用？

主要发现

• 即使模型误差极小，在大数据极限下也可能导致信号恢复不一致，即使真实系统为线性和高斯分布。
• 恒定速度模型误差导致滤波和平滑分布仅能恢复部分傅里叶展开，这种现象与混叠有关。
• 对于时间依赖的模型误差，滤波分布可被精确恢复，但平滑分布无法实现。
• 所提出的松弛模型方法成功在存在模型误差的情况下恢复了滤波的一致性，数值结果已证实该方法的有效性。
• 数值实验验证了理论发现，并展示了该松弛策略在缓解不一致性方面的有效性。