[论文解读] Kantorovich duality for general transport costs and applications

Nathaël Gozlan, Cyril Roberto+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 46被引用 7

一句话总结

本文提出了一种广义的运输成本框架，统一了经典运输成本与弱运输成本，并为这一广泛类别证明了Kantorovich对偶定理。主要贡献在于提出了一套统一的对偶原理，从而能够对受限于凸/凹函数的运输-熵不等式和对数Sobolev不等式给出新的刻画，该方法在鞅耦合与测度集中现象中具有应用价值。

ABSTRACT

We introduce a general notion of transport cost that encompasses many costs used in the literature (including the classical one and weak transport costs introduced by Talagrand and Marton in the 90's), and prove a Kantorovich type duality theorem. As a by-product we obtain various applications in different directions: we give a short proof of a result by Strassen on the existence of a martingale with given marginals, we characterize the associated transport-entropy inequalities together with the log-Sobolev inequality restricted to convex/concave functions. Some explicit examples of discrete measures satisfying weak transport-entropy inequalities are also given.

研究动机与目标

• 开发一种广义的运输成本概念，涵盖概率论与分析中使用的经典与弱运输成本。
• 为该广义运输成本框架建立Kantorovich型对偶定理。
• 将对偶结果应用于刻画运输-熵不等式与受限对数Sobolev不等式。
• 为具有给定边缘分布的鞅耦合提供一个新且简短的Strassen定理证明。
• 给出满足弱运输-熵不等式的离散测度的显式例子。

提出的方法

• 通过乘积空间上的条件核与成本函数，定义一种广义的运输成本泛函。
• 利用ε-最优耦合的逼近方法与Jensen不等式，证明广义运输成本的对偶定理。
• 将对偶性应用于通过相对熵与Wasserstein距离推导运输-熵不等式的刻画。
• 利用广义成本的张量化性质，将单变量空间的结果推广至乘积空间。
• 借助对偶性，将广义运输成本与受限于凸/凹函数的熵及对数Sobolev不等式联系起来。
• 利用该框架构造满足弱运输-熵不等式的离散测度的显式例子。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为包括经典与弱运输成本在内的广泛类运输成本，发展出统一的对偶框架？
• RQ2 广义Kantorovich对偶性与已知的函数不等式（如运输-熵不等式与对数Sobolev不等式）有何关系？
• RQ3 该对偶性能否用于重新推导或简化经典结果，例如关于具有给定边缘分布的鞅耦合的Strassen定理？
• RQ4 该对偶性对乘积空间中维度无关的测度集中现象有何影响？
• RQ5 哪些离散测度满足弱运输-熵不等式？如何显式构造它们？

主要发现

• 为包括经典与弱运输成本在内的广泛类运输成本，建立了广义的Kantorovich对偶定理。
• 该对偶性提供了运输-熵不等式的新型刻画，表明广义运输成本与相对熵之间的等价性。
• 该框架为具有给定边缘分布的鞅存在性（Strassen定理）提供了简短证明。
• 论文通过广义运输成本刻画了受限于凸与凹函数的对数Sobolev不等式。
• 构造了满足弱运输-熵不等式的离散测度的显式例子，展示了该框架的适用性。
• 广义成本的张量化性质确保了运输-熵不等式在乘积测度下保持不变，从而支持维度无关的集中结果。