[论文解读] Kawaguchi-Silverman conjecture for certain surjective endomorphisms

Sheng Meng, De‐Qi Zhang|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 32被引用 10

一句话总结

该论文证明了所有射影曲面（即使具有奇点）的满同态的Kawaguchi-Silverman猜想（KSC），并通过利用等变极小模型程序、反 canonical 除子的有效性以及对 toric 对的刻画，将 KSC 扩展至某些高维代数簇——特别是存在一个 int-ample 同态的有理连通光滑射影三倍曲面。

ABSTRACT

We prove the Kawaguchi-Silverman conjecture (KSC), about the equality of arithmetic degree and dynamical degree, for every surjective endomorphism of any (possibly singular) projective surface. In high dimensions, we show that KSC holds for every surjective endomorphism of any $\mathbb{Q}$-factorial Kawamata log terminal projective variety admitting an int-amplified endomorphism, provided that KSC holds for any surjective endomorphism with the ramification divisor being totally invariant and irreducible. In particular, we show that KSC holds for every surjective endomorphism of any rationally connected smooth projective threefold admitting an int-amplified endomorphism. The main ingredients are the equivariant minimal model program, the effectiveness of the anti-canonical divisor and a characterization of toric pairs.

研究动机与目标

• 证明所有射影曲面（包括奇异情形）的满同态的 Kawaguchi-Silverman 猜想（KSC）。
• 在存在 int-ample 同态的条件下，将 KSC 扩展至高维代数簇，特别是有理连通光滑三倍曲面。
• 将高维情形下的一般 KSC 问题约化为分歧除子完全不变且不可约的情形。
• 利用 toric 几何与等变极小模型程序，刻画具有 int-ample 同态的代数簇的结构。
• 确认在这些同态作用下，所有具有 Zariski 稠密轨道的点的算术度等于动力度。

提出的方法

• 在迭代同态后，即使在存在奇点的情况下，也采用 $f$-等变极小模型程序（MMP）。
• 利用 $f^*$ 在 $\operatorname{NS}(X) \otimes \mathbb{C}$ 上的谱半径等于动力度 $\delta_f$ 的事实，且 $\alpha_f(x)$ 上界为 $\delta_f$。
• 应用等变 MMP 将问题约化为有限个模型情形，特别关注 Fano 收缩与积构型。
• 利用 $-K_X$ 的有效性以及反 Kodaira 纤维结构，控制同态作用下代数簇的几何性质。
• 通过大 torus 的作用刻画 toric 对，并利用此方法证明某些具有完全不变分歧除子的代数簇为 toric 型。
• 利用 int-ample 同态的存在性，确保 $f^*$ 在 $\operatorname{NS}_{\mathbb{Q}}(X)$ 上的所有特征值模长均大于 1，从而通过 $f$ 的正幂次实现归纳约化。

实验结果

研究问题

• RQ1 Kawaguchi-Silverman 猜想是否对所有射影曲面（即使奇异）的满同态都成立？
• RQ2 在存在 int-ample 同态的条件下，KSC 在何种条件下对高维代数簇成立？
• RQ3 KSC 是否可约化为分歧除子完全不变且不可约的情形？
• RQ4 当一个代数簇具有 int-ample 同态并满足 Case TIR 的条件时，会产生何种几何约束？
• RQ5 在具有完全不变分歧除子的代数簇上，int-ample 同态的作用在多大程度上会诱导出 toric 结构？

主要发现

• Kawaguchi-Silverman 猜想对任意（可能奇异的）射影曲面的每个满同态均成立。
• 对于具有一个 int-ample 同态的 $\mathbb{Q}$-因子 Kawamata 对数终端射影代数簇，若其在分歧除子完全不变且不可约的同态下 KSC 成立，则整体 KSC 成立。
• 对于任意具有 int-ample 同态的有理连通光滑射影三倍曲面，其每个满同态的 KSC 均被证实成立。
• 等变极小模型程序确保当 $f$ 为 int-ample 时，$f^*$ 在 $\operatorname{N}^1(X)$ 上的特征值全为大于 1 的正整数。
• 若 $f$ 为 int-ample 且分歧除子完全不变且不可约，则 $X$ 为 toric 对，且 $f$ 保持 toric 结构。
• 满足定理 1.5 条件的代数簇，其反 canonical 除子 $-K_X$ 为有效除子，这为 KSC 证明所需的几何控制提供了支持。