[论文解读] Kazhdan and Haagerup Properties in algebraic groups over local fields

Yves Cornulier|ArXiv.org|Apr 29, 2004

Advanced Operator Algebra Research参考文献 11被引用 11

一句话总结

本文通过不可约表示和不变交错形式，建立了特征为零的域上极小与近乎极小可解李代数的结构刻画。证明了若一个特征为零的局部域上的代数群的非分裂可解根系存在，则其有理点群具有相对 Property (T)，因而不具有 Haagerup 性质，将关于连通李群的结果推广至局部域上的代数群。

ABSTRACT

Given a Lie algebra \s, we call Lie \s-algebra a Lie algebra endowed with a reductive action of \s. We characterize the minimal \s-Lie algebras with a nontrivial action of \s, in terms of irreducible representations of \s and invariant alternating forms. As a first application, we show that if \g is a Lie algebra over a field of characteristic zero whose amenable radical is not a direct factor, then \g contains a subalgebra which is isomorphic to the semidirect product of sl_2 by either a nontrivial irreducible representation or a Heisenberg group (this was essentially due to Cowling, Dorofaeff, Seeger, and Wright). As a corollary, if G is an algebraic group over a local field K of characteristic zero, and if its amenable radical is not, up to isogeny, a direct factor, then G(K) has Property (T) relative to a noncompact subgroup. In particular, G(K) does not have Haagerup's property. This extends a similar result of Cherix, Cowling and Valette for connected Lie groups, to which our method also applies. We give some other applications. We provide a characterization of connected Lie groups all of whose countable subgroups have Haagerup's property. We give an example of an arithmetic lattice in a connected Lie group which does not have Haagerup's property, but has no infinite subgroup with relative Property (T). We also give a continuous family of pairwise non-isomorphic connected Lie groups with Property (T), with pairwise non-isomorphic (resp. isomorphic) Lie algebras.

研究动机与目标

• 通过不可约表示和不变交错形式，刻画特征为零的域上极小与近乎极小可解李代数。
• 将关于连通李群的 Property (T) 与 Haagerup 性质的结果，推广至局部域上的代数群。
• 建立局部域上代数群不具有 Haagerup 性质的条件，特别是当其可解根系不是直和因子时。
• 构造具有 Property (T) 的连通李群的连续族，其李代数彼此不同构，以展示此类群的连续族。
• 提供一个反例，以反驳“不具有 Haagerup 性质的群必有无限子群具有相对 Property (T)”这一命题的逆命题。

提出的方法

• 引入李代数 $\mathfrak{s}$-代数的概念，即一个具有半单李代数 $\mathfrak{s}$ 的完全可约作用的李代数，推广了半直积结构。
• 定义极小与近乎极小可解李 $\mathfrak{s}$-代数，并通过幂零性、导代数条件及商模的不可约性来刻画它们。
• 构造李 $\mathfrak{s}$-代数 $\mathfrak{h}(\mathfrak{v})$，作为全 $\mathfrak{s}$-模 $\mathfrak{v}$ 与 $\mathfrak{s}$-不变交错形式空间的对偶的半直积，配以特定括积规则。
• 利用不可约 $\mathfrak{s}$-模与 $\mathfrak{s}$-不变交错形式的分类，将所有近乎极小可解李 $\mathfrak{s}$-代数分类为 $\mathfrak{h}(\mathfrak{v})$ 的商代数。
• 将分类结果应用于具有非平凡可解根系的李代数，证明若根系不是直和因子，则 $\mathfrak{g}$ 包含一个同构于 $\mathfrak{sl}_2$-半直积与非平凡不可约表示的子代数，或一个 Heisenberg 代数。
• 将李代数结果应用于局部域上的代数群，证明若可解根系在同源意义下不是直和因子，则 $G(\mathbf{K})$ 具有相对于非紧子群的相对 Property (T)，因而不具有 Haagerup 性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在特征为零的局部域上，代数群何时不具有 Haagerup 性质？
• RQ2 群的李代数的何种结构条件可推出其有理点群具有相对 Property (T)？
• RQ3 在局部域上的代数群中，是否能从可解根系的结构检测出 Haagerup 性质的失效？
• RQ4 是否存在连续族的连通李群，其具有 Property (T) 但李代数两两不同构？
• RQ5 一个有限生成群是否可能相对于任何无限子群均无 Property (T)，但仍不具有 Haagerup 性质？

主要发现

• 一个可解李 $\mathfrak{s}$-代数是极小的，当且仅当其为 2-幂零，$[\mathfrak{s},\mathfrak{n}] = \mathfrak{n}$，$[\mathfrak{s},D\mathfrak{n}] = 0$，且 $\mathfrak{n}/D\mathfrak{n}$ 作为 $\mathfrak{s}$-模是不可约的。
• 所有近乎极小可解李 $\mathfrak{s}$-代数均作为 $\mathfrak{h}(\mathfrak{v}) = \mathfrak{v} \oplus \operatorname{Alt}_\mathfrak{s}(\mathfrak{v})^*$ 的商代数出现，其中 $\mathfrak{v}$ 是一个全 $\mathfrak{s}$-模。
• 若一个特征为零的域上的李代数 $\mathfrak{g}$ 具有非直和因子的可解根系，则 $\mathfrak{g}$ 包含一个同构于 $\mathfrak{sl}_2 \ltimes \mathfrak{v}$ 的子代数，其中 $\mathfrak{v}$ 是非平凡不可约 $\mathfrak{sl}_2$-模，或一个 Heisenberg 代数。
• 对于特征为零的局部域 $\mathbf{K}$ 上的代数群 $G$，若其可解根系在同源意义下不是直和因子，则 $G(\mathbf{K})$ 相对于一个非紧子群具有相对 Property (T)，因而不具有 Haagerup 性质。
• 存在一个连续族的两两不同构的连通李群，其均具有 Property (T)，且其李代数也两两不同构，表明 Property (T) 不能唯一确定李代数的同构类。
• 在连通李群中，算术格 $\Gamma = \mathrm{SO}(q)(\mathbf{Z}[\sqrt{2}]) \ltimes \mathbf{Z}[\sqrt{2}]^n$ 不具有 Haagerup 性质，但其无任何无限子群具有相对 Property (T)，表明 Haagerup 性质的缺失并不意味着存在此类子群。