[论文解读] Kazhdan Constants for $SL_n(Z)$

Martin Kassabov|ArXiv.org|Nov 26, 2003

Finite Group Theory Research参考文献 8被引用 6

一句话总结

本文建立了关于 $ \operatorname{SL}_n(\mathbb{Z})$  在初等矩阵生成集下的卡兹丹常数的新下界，证明了 $ \mathcal{K}(\operatorname{SL}_n(\mathbb{Z}), E_n) \geq (42\sqrt{n} + 860)^{-1}$ ，该结果与已知上界 $ \sqrt{2/n}$  的渐近增长速率一致。该结论通过有界生成和广义初等运算推导得出，改进了凯莱图的谱隙估计以及乘积替换算法的算法界。

ABSTRACT

In this article we improve the known Kazhdan constant for $SL_n(Z)$ with respect to the generating set of the elementary matrices. We prove that the Kazhdan constant is bounded from below by $[42\sqrt{n}+860]^{-1}$, which gives the exact asymptotic behavior of the Kazhdan constant, as $n$ goes to infinity, since $\sqrt{2/n}$ is an upper bound. We can use this bound to improve the bounds for the spectral gap of the Cayley graph of $SL_n(F_p)$ and for the working time of the product replacement algorithm for abelian groups.

研究动机与目标

• 建立关于 $ \operatorname{SL}_n(\mathbb{Z})$  在标准初等矩阵生成集下的卡兹丹常数的定量下界。
• 改进 $ \operatorname{SL}_n(\mathbb{F}_p)$  凯莱图谱隙的现有界。
• 为分析乘积替换算法在阿贝尔群上的运行时间提供定量基础。
• 将该方法推广至数域整数环及其他具有有限生成性的交换环。

提出的方法

• 利用 Y. Shalom 的有界生成方法，构造卡兹丹常数的显式下界。
• 在 $ \mathbb{Z}^k$  中的向量系统上引入广义初等运算，以控制变换的复杂度。
• 通过在 $ \mathbb{Z}[t_1,\dots,t_s]$  的完备化结构上使用归纳法与结构定理，界定所需变换的次数。
• 应用 Carter 与 Keller 关于 $ \operatorname{SL}_3(\mathcal{O})$  有界生成的结果，将界推广至数域整数环。
• 在递归构造中仔细追踪常数，以获得优于先前工作的更紧致界。
• 通过利用在稠密子环与稳定范围性质上的特性，将框架推广至紧环与环路群（如 $ \mathcal{L}(\operatorname{SL}_n(\mathbb{C}))$ ）

实验结果

研究问题

• RQ1 关于 $ \operatorname{SL}_n(\mathbb{Z})$  在初等矩阵生成集下的卡兹丹常数的精确渐近行为是什么？
• RQ2 能否通过更紧致的卡兹丹常数改进 $ \operatorname{SL}_n(\mathbb{F}_p)$  的谱隙界？
• RQ3 当 $ \mathcal{O}$  为数域整数环时，$ \operatorname{SL}_n(\mathcal{O})$  的卡兹丹常数行为如何？
• RQ4 该方法能否推广至非算术环（如 $ \mathbb{Z}[[t]]$  或 $ \operatorname{Hom}(S^1, \mathbb{C})$ ）？
• RQ5 在一般情形下，卡兹丹常数对数域判别式的依赖关系如何？

主要发现

• 关于 $ \operatorname{SL}_n(\mathbb{Z})$  在初等矩阵下的卡兹丹常数，其下界为 $ (42\sqrt{n} + 860)^{-1} $，与已知上界 $ \sqrt{2/n} $ 的渐近增长速率一致。
• 对于 $ \operatorname{SL}_n(\mathbb{F}_p)$ ，该界改进为 $ (31\sqrt{n} + 700)^{-1} $，从而增强了谱隙估计。
• 该方法对 $ \operatorname{SL}_n(\mathcal{O})$  给出下界 $ (50\sqrt{n} + (B + C\Delta)6^m)^{-1} $，其中 $ \mathcal{O}$  为具有判别式 $ \Delta$  的数域整数环。
• 通过使用 $ l_s(n) = \min\{\sqrt{3n + 21.6^s}, 12\} $ 与 $ k_s(n) = \min\{\sqrt{6n + 48.6^s}, 12\} $，将 $ \operatorname{SL}_n(\mathbb{Z}[t_1,\dots,t_s])$  的界推广，以控制变换复杂度。
• 证明了环路群 $ \mathcal{L}(\operatorname{SL}_n(\mathbb{C}))$  具有性质 $T$，其卡兹丹常数至少为 $ (50\sqrt{n} + B)^{-1} $，尽管其并非李群。
• 该框架适用于任意稳定范围至多为 2 且具有有限生成稠密子环的环，从而对 $ \operatorname{SL}_n(R)$  获得 $ O(1/\sqrt{n}) $ 量级的卡兹丹常数。