[论文解读] Kazhdan projections, random walks and ergodic theorems

Cornelia Druţu, Piotr W. Nowak|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2015

Advanced Operator Algebra Research被引用 3

一句话总结

该论文通过引入与群随机游走相关的马尔可夫算子，建立了卡拉兹丹投影、随机游走与一致凸巴拿赫空间中遍历定理之间的联系。在一致凸条件下，证明了谱间隙、迭代马尔可夫算子收敛性与卡拉兹丹投影存在性三者等价，并通过诺伊曼级数给出了投影的显式公式。主要贡献在于为卷曲锥构造了非紧的鬼投影，这些投影被猜想可作为粗 Baum-Connes 猜想的反例。

ABSTRACT

In this paper we investigate generalizations of Kazhdan's property $(T)$ to the setting of uniformly convex Banach spaces. We explain the interplay between the existence of spectral gaps and that of Kazhdan projections. Our methods employ Markov operators associated to a random walk on the group, for which we provide new norm estimates and convergence results. They exhibit useful properties and flexibility, and allow to view Kazhdan projections in Banach spaces as natural objects associated to random walks on groups. We give a number of applications of these results. In particular, we address several open questions. We give a direct comparison of properties $(TE)$ and $FE$ with Lafforgue's reinforced Banach property $(T)$; we obtain shrinking target theorems for orbits of Kazhdan groups; finally, answering a question of Willett and Yu we construct non-compact ghost projections for warped cones. In this last case we conjecture that such warped cones provide counterexamples to the coarse Baum-Connes conjecture.

研究动机与目标

• 通过随机游走与马尔可夫算子，将卡兹丹的性质 (T) 推广至一致凸巴拿赫空间。
• 在该设定下，建立谱间隙、马尔可夫算子收敛性与卡拉兹丹投影存在性之间的等价关系。
• 解决开放问题，包括为卷曲锥构造非紧的鬼投影。
• 通过几何群论与遍历理论，为研究粗 Baum-Connes 猜想提供新框架。

提出的方法

• 在一致凸巴拿赫空间上引入一族等距群表示，并定义群上的可接受概率测度。
• 定义与随机游走相关的马尔可夫平均算子 Aμπ，并分析其在不动点子空间上的投影收敛性。
• 证明谱间隙、Aμπ 在不动点补空间上的算子范数一致衰减，以及迭代算子的可 summable 收敛性三者等价。
• 通过诺伊曼级数推导卡拉兹丹投影的显式公式：Pπ = IE − (∑ₙ₌₀^∞ (Aμπ)^n)(IE − Aμπ)。
• 将该框架应用于卷曲锥，构造 L²(O,ν) 上的投影 G，其为有限传播算子的算子范数极限。
• 利用富比尼定理与谱间隙估计，证明 G 为非紧鬼投影，且满足算子范数衰减 ‖π(ρᵏ) − G‖ ≤ λᵏ（其中 λ < 1）。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过马尔可夫算子收敛性与卡拉兹丹投影来刻画一致凸巴拿赫空间上群表示的谱间隙？
• RQ2 群上的可接受随机游走是否能有效构造巴拿赫代数中的卡拉兹丹投影？
• RQ3 能否为卷曲锥构造非紧鬼投影？这些投影是否阻碍粗 Baum-Connes 猜想？
• RQ4 一致凸性在确保谱间隙与算子收敛性等价性方面起何作用？
• RQ5 这些构造与拉福尔格的强化巴拿赫性质 (T) 及性质 (TE)/FE 有何关联？

主要发现

• 在一致凸巴拿赫空间上，一族等距表示存在谱间隙，当且仅当马尔可夫算子 Aμπ 在不动点补空间上的算子范数一致衰减，且满足 ‖Aμπ|Eπ‖ < λ < 1。
• 通过诺伊曼级数导出卡拉兹丹投影 Pπ 的显式公式：Pπ = IE − (∑ₙ₌₀^∞ (Aμπ)^n)(IE − Aμπ)。
• 对任意可接受测度 μ，迭代马尔可夫算子 (Aμπ)^k 以可 summable 速度收敛至 Pπ，满足 ‖(Aμπ)^k − Pπ‖ ≤ ak，其中 ∑ₖ ak ≤ S < ∞。
• 在卷曲锥 OGM 上的投影 G 是一个非紧鬼投影，其为有限传播算子的算子范数极限，且满足算子范数衰减 ‖π(ρᵏ) − G‖ ≤ λᵏ（λ < 1）。
• 该构造首次在非希尔伯特空间上实现了非紧鬼投影，支持了卷曲锥可能作为粗 Baum-Connes 猜想反例的猜想。
• 该框架适用于在紧致度量空间上具有谱间隙的动作，当动作具有谱间隙时，可在博赫纳空间 L²(M,m;E) 上生成鬼投影。