[论文解读] Keeler's theorem and products of distinct transpositions

Ron Evans, Lihua Huang+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2012

Genome Rearrangement Algorithms参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文通过提出一种更高效的算法，对《飞出个未来》中基勒定理关于思维互换置换的结论进行了改进，该算法仅使用 $ n + r + 2 $ 个不同的对换（其中 $ n $ 为身体数量，$ r $ 为不相交循环的数量）即可恢复任意置换，优于基勒原始算法的 $ n + 2r $ 或 $ n + 2r + 1 $ 个对换。该方法利用两名外部人员，在确保所有对换互不相同且与原始对换不相交的前提下，最小化了对换次数。

ABSTRACT

An episode of Futurama features a two-body mind-switching machine which will not work more than once on the same pair of bodies. After the Futurama community engages in a mind-switching spree, the question is asked, "Can the switching be undone so as to restore all minds to their original bodies?" Ken Keeler found an algorithm that undoes any mind-scrambling permutation with the aid of two "outsiders." We refine Keeler's result by providing a more efficient algorithm that uses the smallest possible number of switches. We also present best possible algorithms for undoing two natural sequences of switches, each sequence effecting a cyclic mind-scrambling permutation in the symmetric group S_n. Finally, we give necessary and sufficient conditions on m and n for the identity permutation to be expressible as a product of m distinct transpositions in S_n.

研究动机与目标

• 提供一种比基勒算法更高效的算法，用于通过最少数量的不同对换恢复任意思维混乱置换。
• 确定在使用两名外部人员时，将思维恢复到原始身体所需的最少对换数量。
• 建立恒等置换可表示为 $ S_n $ 中 $ m $ 个不同对换乘积的充要条件。
• 分析生成 $ n $-循环的两种典型对换序列，并确定每种序列的最优恢复策略。
• 证明当且仅当 $ m $ 为偶数且 $ m \geq 6 $ 时，恒等置换才能表示为 $ S_n $ 中 $ m $ 个不同对换的乘积。

提出的方法

• 在 $ S_{n+2} $ 中构造一个乘积 $ \sigma $，使用涉及两名外部人员 $ x $ 和 $ y $ 的对换，确保所有因子与 $ P $ 中的原始对换互不相同。
• 对每个长度为 $ k_i $ 的循环 $ C_i $，定义一个由 $ k_i + 2 $ 个对换组成的乘积 $ \sigma_i $，使得 $ \sigma_i C_i = (xy) $，且仅使用 $ (xu) $ 和 $ (yu) $ 类型的因子。
• 将 $ \sigma_i $ 组合成 $ \tau = \sigma_r \cdots \sigma_1 $，使得 $ \tau P = (xy)^r $，并根据 $ r $ 的奇偶性调整 $ \sigma $，以最终得到恒等置换。
• 通过循环分解和对换计数论证，证明 $ n + r + 2 $ 是所需对换数的最小值，从而证明算法最优性。
• 使用函数 $ f(a,b,c) = (ac)(ab)(bc) $，在不改变置换的前提下，将乘积中的对换数量增加 2，从而实现恒等置换乘积的归纳构造。
• 在 $ S_4 $ 到 $ S_8 $ 中显式构造恒等置换表达式，然后通过 $ f(a,b,c) $ 的替换技术，将构造方法归纳推广至所有 $ S_n $。

实验结果

研究问题

• RQ1 使用两名外部人员时，恢复任意 $ P \in S_n $ 的思维互换置换，所需的最少不同对换数量是多少？
• RQ2 恒等置换是否可以表示为 $ S_n $ 中 $ m $ 个不同对换的乘积？若可以，对哪些 $ m $ 值成立？
• RQ3 在 $ S_n $ 中，恢复两种典型 $ n $-循环置换 $ P_1 $ 和 $ P_2 $ 所需的最少对换数量是多少？
• RQ4 基勒原始算法是否最优？如果不是，对换数量上可改进多少？
• RQ5 在 $ S_n $ 中，恢复一个循环思维互换置换所需的最少外部人数是多少？这与 $ n $ 的关系如何？

主要发现

• 对于具有 $ r $ 个不相交循环的任意置换 $ P \in S_n $，恢复其所需的最少对换数为 $ n + r + 2 $，且该界是紧的。
• 基勒原始算法仅在 $ r = 1 $ 和 $ r = 2 $ 时最优；当 $ r \geq 3 $ 时，新算法至少可将对换数减少 2 个。
• 恒等置换 $ I $ 可表示为 $ S_n $ 中 $ m $ 个不同对换的乘积，当且仅当 $ m $ 为偶数且 $ 6 \leq m \leq \binom{n}{2} $。
• 对于 $ n \geq 4 $，存在显式构造方法，可对所有满足条件的偶数 $ m $，通过 $ f(a,b,c) $ 的归纳替换技术，将 $ I $ 表示为 $ m $ 个不同对换的乘积。
• 在 $ S_4 $ 中，恒等置换可表示为全部六个对换的乘积：$ (12)(23)(14)(13)(24)(34) $，该结果被用作归纳的基础情形。
• 当 $ n = 2 $ 时，需要两名外部人员；当 $ n = 3 $ 和 $ n = 4 $ 时，一名外部人员即可恢复 $ P_1 $，且已显式构造出最优的 $ \sigma $。