[论文解读] Kempf collapsing and quiver loci

Allen Knutson, Mark Shimozono|ArXiv.org|Aug 14, 2006

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 40被引用 10

一句话总结

本文通过Kempf的坍缩构造，为ADE型Quiver的多重次数与K-多项式建立了一个统一框架。通过将差分差分算子作用于由权导出的线性形式的乘积，作者推导出Quiver多项式与K-理论类的显式公式，将先前仅限于A型的结果推广至具有有理奇点的D型与E型Quiver。

ABSTRACT

Kempf [1976] studied proper, G-equivariant maps from equivariant vector bundles over flag manifolds to G-representations V, which he called _collapsings_. We give a simple formula for the G-equivariant cohomology class on V, or_multidegree_, associated to the image of a collapsing: apply a certain sequence of divided difference operators to a certain product of linear polynomials, then divide by the number of components in a general fiber. When that number of components is 1, we construct a desingularization of the image of the collapsing. If in addition the image has rational singularities, we can use the desingularization to give also a formula for the G-equivariant K-class of the image, whose leading term is the multidegree. Our application is to quiver loci and quiver polynomials. Let Q be a quiver of finite type (A, D, or E, in arbitrary orientation), and assign a vector space to each vertex. Let \Hom denote the (linear) space of representations of Q with these vector spaces. This carries an action of GL, the product of the general linear groups of the individual vector spaces. A_quiver locus_ Ωis the closure in \Hom of a GL-orbit, and its multidegree is the corresponding _quiver polynomial_. Reineke [2004] proved that every ADE quiver locus is the image of a birational Kempf collapsing (giving a desingularization directly). Using Reineke's collapsings, we give formulae for ADE quiver polynomials, previously only computed in type A (though in this case, our formulae are new). In the A and D cases quiver loci are known to have rational singularities [Bobiński-Zwara 2002], so we also get formulae for their K-classes, which had previously only been computed in equioriented type A (and again our formulae are new).

研究动机与目标

• 通过Kempf的坍缩构造，将Quiver多项式公式的适用范围从A型推广至其他类型。
• 为有限型Quiver（A、D、E）的Quiver局部的多重次数提供系统性计算方法。
• 将K-理论类的计算扩展至D型与E型Quiver局部，这些类型已知具有有理奇点。
• 通过Reineke的结果，统一描述Quiver局部为双有理Kempf坍缩的像。

提出的方法

• 对$P$-不变子空间$Z$的多重次数应用一系列差分差分算子，以计算其像$G\cdot Z$的多重次数。
• 将坍缩的一般纤维中的分量数量用作公式中的归一化因子。
• 利用Reineke的结果：每个ADE型Quiver局部均可表示为双有理Kempf坍缩的像。
• 当纤维连通时，通过坍缩映射构造Quiver局部的光滑化。
• 利用光滑化计算Quiver局部的$K$-多项式，其首项即为多重次数。
• 通过将Quiver局部实现为GL-轨道在Kempf坍缩下的像，将该方法应用于A、D、E型Quiver的局部。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以使用与A型类似的方法，统一计算D型与E型Quiver局部的多重次数？
• RQ2 Kempf坍缩的像的$G$-等变上同调类（多重次数）的精确公式是什么？
• RQ3 在何种条件下，可通过Kempf坍缩的光滑化计算Quiver局部的$K$-类？
• RQ4 差分差分算子如何作用于权的乘积，从而生成Quiver多项式？
• RQ5 GL-扫掠的$B$-不变子空间是否比一般Quiver局部构成更良好数的代数簇类？

主要发现

• A、D或E型Quiver局部的多重次数，可通过将差分差分算子序列作用于$Y/Z$中$T$-权的乘积，再除以纤维分量数得到。
• 在A型情况下，该公式恢复了已知的双Schur多项式$s_{(m-r)\times(n-r)}[X-Y]$，与Giambelli-Thom-Porteous公式一致。
• 在D型与E型中，相同方法导出Quiver多项式的全新公式，将先前仅限于A型的结果加以推广。
• 当坍缩为双有理且像具有有理奇点时，通过光滑化计算Quiver局部的$K$-多项式，从而获得$K$-类的新公式。
• 该方法在ADE型Quiver中统一适用，关键洞见在于Reineke的构造提供了自然的光滑化。
• 对于无自环或多重边的Quiver，仅存在有限多个$B$-不变子空间，提示$GL$-扫掠的此类子空间可能比一般Quiver局部更自然。