[论文解读] Kernel-based Methods for Stochastic Partial Differential Equations

Qi Ye|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2013

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 43被引用 7

一句话总结

本文提出一种基于核函数的方法，通过结合无网格近似与克里金插值，求解高维随机偏微分方程（SPDEs）。通过使用正定核函数在Sobolev空间上赋予概率测度，构造高斯随机场，从而为SPDEs生成适定的基于核函数的近似解。该方法在随机泊松方程和热方程上通过Wendland核与Matérn核进行了数值验证。

ABSTRACT

This article gives a new insight of kernel-based (approximation) methods to solve the high-dimensional stochastic partial differential equations. We will combine the techniques of meshfree approximation and kriging interpolation to extend the kernel-based methods for the deterministic data to the stochastic data. The main idea is to endow the Sobolev spaces with the probability measures induced by the positive definite kernels such that the Gaussian random variables can be well-defined on the Sobolev spaces. The constructions of these Gaussian random variables provide the kernel-based approximate solutions of the stochastic models. In the numerical examples of the stochastic Poisson and heat equations, we show that the approximate probability distributions are well-posed for various kinds of kernels such as the compactly supported kernels (Wendland functions) and the Sobolev-spline kernels (Matérn functions).

研究动机与目标

• 利用无网格方法解决具有复杂边界条件的高维SPDEs的挑战。
• 通过统一的基于核函数的概率框架，弥合无网格近似与克里金插值之间的鸿沟。
• 通过在Sobolev空间上利用正定核函数定义高斯随机变量，将基于核函数的方法从确定性数据扩展到随机数据。
• 为基于核函数的SPDE近似方法提供理论与数值基础，适用于具有时间与空间白噪声的SPDEs。
• 展示该方法在不同核函数下的鲁棒性，包括紧支集（Wendland）与Sobolev样条（Matérn）类型。

提出的方法

• 利用正定核函数在Sobolev空间上诱导概率测度，从而定义高斯随机场。
• 在Sobolev空间上定义有界线性泛函（如点值或微分算子），以生成正态随机变量。
• 通过再生核希尔伯特空间中的插值问题构造基于核函数的估计器，利用再生性质实现全局最优性。
• 整合克里金插值技术，通过高斯场建模实现局部最优预测。
• 通过将噪声建模为具有核诱导协方差的高斯场，将该方法应用于具有加法噪声的SPDEs。
• 利用Halton点与Franke函数的数值实验，验证收敛速率与误差行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过将方法嵌入概率框架，将基于核函数的方法从确定性数据扩展到随机数据？
• RQ2 如何在单一基于核函数的理论结构下统一无网格近似与克里金插值？
• RQ3 在核函数与定义域满足何种条件下，可保证基于核函数的SPDE近似解的适定性？
• RQ4 是否能通过幂函数预测基于核函数的估计器的收敛行为，而无需人工误差证明？
• RQ5 Wendland与Matérn等不同类别的核函数在近似随机PDE解时表现如何？

主要发现

• 基于核函数的随机泊松方程与热方程近似解在多种核函数（包括Wendland与Matérn函数）下均表现出适定性。
• 基于核函数的估计器的幂函数能紧密跟踪精确的收敛速率，从而实现自动误差估计。
• 该方法能有效处理非规则区域与非光滑核函数，表明强正则性假设可被弱化。
• 理论框架通过证明在核诱导概率测度下，无网格近似与克里金插值的公式等价，实现了两者的统一。
• 数值结果表明，基于核函数的估计器能够智能地学习误差行为，减少对人工解析证明的依赖。
• 该方法可自然推广至非线性模型与Lévy噪声，表明其在高斯白噪声之外也具有广泛适用性。