[论文解读] Kernel function and quantum algebras

Boris Feigin, Ayumu Hoshino+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用 40

一句话总结

本文在对称函数的张量积与退化的 $ \mathbb{C}\mathbb{P}^1 $ 上的交换代数之间引入了一个量子核函数 $ K_n(x,z;q,t) $，并通过表式求和公式将其与麦克唐纳多项式联系起来。研究证明，丁-伊哈拉量子代数 $ \mathcal{U}(q,t) $ 的第 $ m $ 个水平表示生成了形变 $ \mathcal{W}_{q,p}(\mathfrak{sl}_n) $ 代数的电流，且 $ K_n $ 自然地出现在最高到最高关联函数中。

ABSTRACT

We introduce an analogue $K_n(x,z;q,t)$ of the Cauchy-type kernel function for the Macdonald polynomials, being constructed in the tensor product of the ring of symmetric functions and the commutative algebra $\mathcal{A}$ over the degenerate $\mathbb{C} \mathbb{P}^1$. We show that a certain restriction of $K_n(x,z;q,t)$ with respect to the variable $z$ is neatly described by the tableau sum formula of Macdonald polynomials. Next, we demonstrate that the integer level representation of the Ding-Iohara quantum algebra naturally produces the currents of the deformed $\mathcal{W}$ algebra. Then we remark that the $K_n(x,z;q,t)$ emerges in the highest-to-highest correlation function of the deformed $\mathcal{W}$ algebra.

研究动机与目标

• 在对称函数环 $ \Lambda_{\mathbb{F}} $ 与基于退化 $ \mathbb{C}\mathbb{P}^1 $ 的交换代数 $ \mathcal{A} $ 的张量积中构造一个量子核函数 $ K_n(x,z;q,t) $。
• 证明 $ K_n(x,z;q,t) $ 的某种限制形式可通过麦克唐纳多项式的表式求和公式描述。
• 证明丁-伊哈拉量子代数 $ \mathcal{U}(q,t) $ 的第 $ m $ 个水平表示可生成形变 $ \mathcal{W}_{q,p}(\mathfrak{sl}_n) $ 代数的电流。
• 建立 $ K_n(x,z;q,t) $ 作为形变 $ \mathcal{W}_{q,p}(\mathfrak{sl}_n) $ 代数中最高到最高关联函数的自然出现。

提出的方法

• 在 $ \mathbb{F} = \mathbb{Q}(q_1,q_2) $ 上定义基于 $ \partial^{(0,k)} $ 与 $ \partial^{(\infty,k)} $ 算子的交换代数 $ \mathcal{A} $，在 $ \mathbb{C}\mathbb{P}^1 $ 上施加退化条件。
• 通过有理函数 $ \omega(x,y) = \frac{(x-q_1y)(x-q_2y)(x-q_3y)}{(x-y)^3} $ 在 $ \mathcal{A} $ 上引入乘法运算 $ * $，并通过 $ \operatorname{Sym} $ 实现对称化。
• 在张量积 $ \Lambda_{\mathbb{F}} \otimes \mathcal{A} $ 中构造核函数 $ K_n(x,z;q,t) $，其作为柯西核的类比，其中 $ q_1 = q^{-1}, q_2 = t, q_3 = qt^{-1} $。
• 利用麦克唐纳多项式的表式求和公式，描述 $ K_n $ 关于 $ z $ 的限制，从而建立与对称函数理论的直接联系。
• 通过丁-伊哈拉量子代数 $ \mathcal{U}(q,t) $ 的第 $ m $ 个水平表示实现形变 $ \mathcal{W}_{q,p}(\mathfrak{sl}_n) $ 代数的电流。
• 通过算子乘积展开与顶点算子构造，识别 $ K_n(x,z;q,t) $ 为形变 $ \mathcal{W}_{q,p}(\mathfrak{sl}_n) $ 代数中最高到最高关联函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在对称函数与基于退化 $ \mathbb{C}\mathbb{P}^1 $ 的代数的张量积中构造一个量子核函数 $ K_n(x,z;q,t) $？
• RQ2 对 $ z $ 限制的 $ K_n(x,z;q,t) $ 与麦克唐纳多项式的表式求和公式之间存在何种关系？
• RQ3 丁-伊哈拉量子代数 $ \mathcal{U}(q,t) $ 的第 $ m $ 个水平表示如何生成形变 $ \mathcal{W}_{q,p}(\mathfrak{sl}_n) $ 代数的电流？
• RQ4 在形变 $ \mathcal{W}_{q,p}(\mathfrak{sl}_n) $ 代数中，$ K_n(x,z;q,t) $ 在最高到最高通道中的关联函数中扮演何种角色？
• RQ5 哪些代数结构——如算子乘积展开与顶点算子恒等式——支撑了 $ K_n $ 在此背景下的出现？

主要发现

• 核函数 $ K_n(x,z;q,t) $ 构造为 $ x $ 与 $ z $ 的对称有理函数，取值于张量积 $ \Lambda_{\mathbb{F}} \otimes \mathcal{A} $，其系数属于 $ \mathbb{F} = \mathbb{Q}(q,t) $。
• 对 $ K_n(x,z;q,t) $ 关于 $ z $ 的某种限制形式可被麦克唐纳多项式的表式求和公式清晰描述，从而建立了与对称函数理论的直接联系。
• 丁-伊哈拉量子代数 $ \mathcal{U}(q,t) $ 的第 $ m $ 个水平表示自然地生成了形变 $ \mathcal{W}_{q,p}(\mathfrak{sl}_n) $ 代数的电流，该结果通过顶点算子实现得到验证。
• 核函数 $ K_n(x,z;q,t) $ 作为形变 $ \mathcal{W}_{q,p}(\mathfrak{sl}_n) $ 代数中最高到最高关联函数自然出现，通过算子乘积展开的显式计算得到确认。
• $ \Lambda_i^*(z) \Lambda_j^*(w) $ 的算子乘积展开满足 $ f_{1,m}(w/z) \Lambda_i^*(z) \Lambda_j^*(w) = :\Lambda_i^*(z) \Lambda_j^*(w): $，其中 $ f_{1,m} $ 编码了形变 $ \mathcal{W} $ 代数的结构常数。
• $ 相关顶点算子乘积的第 $ k $ 个张量分量被显式计算，其与 $ \widetilde{\Lambda}_i^*(p^{(m-2)/2}z) $ 的分量一致，从而确认了电流代数与核函数之间的同构关系。