[论文解读] Kernel(s) for Problems With no Kernel: On Out-Trees With Many Leaves

Henning Fernau, Fedor V. Fomin+4 more|ArXiv.org|Oct 27, 2008

Advanced Graph Theory Research参考文献 13被引用 4

一句话总结

该论文首次为根 $k$-叶出树 (Rooted $k$-Leaf Out-Branching) 建立了大小为 $O(k^3)$ 的多项式核，采用极值组合方法，同时证明了除非多项式层级坍缩，否则 $k$-Leaf Out-Branching 不具有多项式核。论文通过展示对于该难题存在 $n$ 个独立的 $O(k^3)$ 核，首次实现了多对一与图灵核化之间的分离。

ABSTRACT

The {\sc $k$-Leaf Out-Branching} problem is to find an out-branching (i.e. a rooted oriented spanning tree) with at least $k$ leaves in a given digraph. The problem has recently received much attention from the viewpoint of parameterized algorithms {alonLNCS4596,AlonFGKS07fsttcs,BoDo2,KnLaRo}. In this paper we step aside and take a kernelization based approach to the {\sc $k$-Leaf-Out-Branching} problem. We give the first polynomial kernel for {\sc Rooted $k$-Leaf-Out-Branching}, a variant of {\sc $k$-Leaf-Out-Branching} where the root of the tree searched for is also a part of the input. Our kernel has cubic size and is obtained using extremal combinatorics. For the {\sc $k$-Leaf-Out-Branching} problem we show that no polynomial kernel is possible unless polynomial hierarchy collapses to third level %$PH=Σ_p^3$ by applying a recent breakthrough result by Bodlaender et al. {BDFH08} in a non-trivial fashion. However our positive results for {\sc Rooted $k$-Leaf-Out-Branching} immediately imply that the seemingly intractable the {\sc $k$-Leaf-Out-Branching} problem admits a data reduction to $n$ independent $O(k^3)$ kernels. These two results, tractability and intractability side by side, are the first separating {\it many-to-one kernelization} from {\it Turing kernelization}. This answers affirmatively an open problem regarding "cheat kernelization" raised in {IWPECOPEN08}.

研究动机与目标

• 解决 $k$-Leaf Out-Branching 的核化复杂度问题，这是有向图参数化算法中的一个关键问题。
• 研究那些不具有多项式核的问题是否仍可通过多个独立核实现高效的预处理。
• 在参数化复杂度中建立多对一核化与图灵核化之间的分离。
• 为“作弊核化”（cheat kernelization）提供一个框架，即用 $n$ 个独立的多项式核替代单个大型核。

提出的方法

• 利用极值组合方法与规约规则，为根 $k$-叶出树建立大小为 $O(k^3)$ 的多项式核。
• 通过测试所有可能的根，将 $k$-Leaf Out-Branching 非平凡地规约为 $k$-Leaf Out-Tree。
• 基于“良好柳树图”（nice willow graphs）的构造，模拟出树结构，并规约为具有 $b_{\text{max}}$ 片叶子的单个实例。
• 采用基于环的构造方法，将 $n$ 个独立的根 $k$-叶出树实例合并为单个 $k$-Leaf Out-Branching 实例。
• 应用 Bodlaender 等人 [5] 的下界框架，证明除非 $PH = \Sigma_p^3$，否则 $k$-Leaf Out-Branching 不具有多项式核。
• 将核化后的实例还原为 $k$-Leaf Out-Tree，若 $k$-Leaf Out-Branching 存在多项式核，则导出矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 一个不具有多项式核的问题是否仍可拥有 $n$ 个独立的多项式核？
• RQ2 在参数化复杂度中，多对一核化与图灵核化之间是否存在分离？
• RQ3 对于一个困难问题，若存在多个小型核，是否意味着尽管理论不可行，但在实践中仍具可处理性？
• RQ4 Bodlaender 等人 [5] 的框架能否扩展至排除 $|I|^{O(1)}$ 个独立多项式核？
• RQ5 是否存在其他自然问题也表现出这种“作弊核化”行为？

主要发现

• 根 $k$-叶出树可被核化为大小为 $O(k^3)$ 的多项式核，该结果通过极值组合方法与规约规则建立。
• $k$-Leaf Out-Branching 不具有多项式核，除非多项式层级坍缩至 $\Sigma_p^3$，该结论通过从 $k$-Leaf Out-Tree 的规约得以证明。
• $n$ 个独立的 $O(k^3)$ 核为根 $k$-叶出树提供了图灵核化的一种形式，使得对困难的 $k$-Leaf Out-Branching 问题可实现高效的预处理。
• 通过使用柳树图构成的环，将 $n$ 个根 $k$-叶出树实例合并为单个 $k$-Leaf Out-Branching 实例的构造，确保了正确性，并在各组件间保持了叶子数量不变。
• 该论文通过证明 $n$ 个独立多项式核可绕过多对一核化的下界，正面回答了关于“作弊核化”的一个开放问题。
• 该结果在多对一核化与图灵核化之间建立了严格的分离，表明后者对某些问题而言可严格更强。