[论文解读] Kernelization and approximation of distance-$r$ independent sets on nowhere dense graphs

Michał Pilipczuk, Sebastian Siebertz|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2018

Advanced Graph Theory Research参考文献 32被引用 6

一句话总结

该论文证明了在无处稠密图类上，距离-$r$独立集问题存在近乎线性规模的核，利用了结构稀疏性与分解技术。关键贡献在于提出了一种多项式时间核化算法，其核大小为$O(k^{1+\varepsilon})$（对任意$\varepsilon > 0$），证明了在此设定下近乎线性核化是可能的，同时表明在某类稠密图类上该问题为$\textsc{W}[1]$-难问题。

ABSTRACT

For a positive integer $r$, a distance-$r$ independent set in an undirected graph $G$ is a set $I\subseteq V(G)$ of vertices pairwise at distance greater than $r$, while a distance-$r$ dominating set is a set $D\subseteq V(G)$ such that every vertex of the graph is within distance at most $r$ from a vertex from $D$. We study the duality between the maximum size of a distance-$2r$ independent set and the minimum size of a distance-$r$ dominating set in nowhere dense graph classes, as well as the kernelization complexity of the distance-$r$ independent set problem on these graph classes. Specifically, we prove that the distance-$r$ independent set problem admits an almost linear kernel on every nowhere dense graph class.

研究动机与目标

• 研究距离-$r$独立集问题在无处稠密图类上的核化复杂度。
• 在稀疏图类中建立距离-$r$支配集与距离-$2r$独立集之间的对偶关系。
• 确定距离-$r$独立集问题在无处稠密图上是否存在近乎线性核。
• 证明该问题在某类稠密图类上为$\textsc{W}[1]$-难问题，从而确立核化结果的紧致性。

提出的方法

• 利用深度-$r$极小图来刻画无处稠密图类，并利用其结构稀疏性。
• 应用图分解的分层结构——投影式、分页式以及无界宽度——在保持解结构的同时减小问题规模。
• 采用一系列约化：从原图约化到有界扩张子图，再约化到子图封闭子图，最终约化到具有有界扩张的核图。
• 通过迭代应用投影与着色技术构建核，确保核中的每个顶点对应原图中有限数量的顶点。
• 利用在无处稠密类中$K_{t(r)}$不会作为深度-$r$极小图出现的事实，从而在子图中实现有界扩张。
• 通过在构造图$H = J^{(r)}$上将独立集问题约化为距离-$r$独立集问题，证明了在某类稠密图类上该问题为$\textsc{W}[1]$-难问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 距离-$r$独立集问题是否可在无处稠密图类上被核化为近乎线性规模？
• RQ2 在无处稠密图中，距离-$2r$独立集的大小与距离-$r$支配集的最小大小之间存在何种关系？
• RQ3 距离-$r$独立集问题是否在某类稠密图类上为$\textsc{W}[1]$-难问题？
• RQ4 在无处稠密图类中，核大小是否可被$O(k^{1+\varepsilon})$（对任意$\varepsilon > 0$）所界定？
• RQ5 无处稠密图的何种结构特性使得此类高效核化成为可能？

主要发现

• 在每个无处稠密图类上，距离-$r$独立集问题均存在近乎线性核，核大小为$O(k^{1+\varepsilon})$（对任意$\varepsilon > 0$）。
• 该核化通过一系列图分解与约化实现，其核心在于无处稠密图中不存在大深度-$r$极小图的特性。
• 存在一个对偶不等式：$\alpha_{2r}(G,A) \leq \gamma_r(G,A)$，且在无处稠密类中，该对偶关系在常数因子范围内是紧致的。
• 该问题在每个对子图封闭的某类稠密图类上均为$\textsc{W}[1]$-难问题，通过从经典独立集问题的约化实现。
• 从图$J$构造图$H = J^{(r)}$，可确保$\alpha_{6r-1}(H) = \alpha_1(G) + 1$，从而将原始独立集问题与距离-$r$变体联系起来。
• 核大小的界是紧致的，即除非$\textsc{W}[1] = \textsc{FPT}$，否则在某类稠密图类上该问题不存在多项式核。