[论文解读] Kernels of discrete convolutions and subdivision operators

Tomas Sauer|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2014

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文证明了多维离散卷积与平稳细分算子的核恰好由指数多项式构成，其结构由多重变量洛朗多项式的公共零点的重数决定——通过使用零维理想上的格罗布纳重数理论，将经典的一维结果推广至高维空间。

ABSTRACT

We consider kernels of discrete convolution operators or, equivalently, homogeneous solutions of partial difference operators and show that these solutions always have to be exponential polynomials. The respective polynomial space in connected directly though somewhat intricately to the multiplicity of the common zeros of certain multivariate polynomials, a concept introduced by Gröbner in the description of kernels of partial differential operators with constant coefficients. These results can are then used to determine the kernels of stationary subdivision operators as well.

研究动机与目标

• 表征 ℤ^s 上离散卷积算子的核为指数多项式空间。
• 将经典的一维卷积核结构结果推广至多维情形。
• 应用零维理想上的格罗布纳重数理论，描述高维情形下核的结构。
• 通过细分算子符号的对称零点表征其核。
• 建立细分算子符号的对称零点与核结构之间的对应关系。

提出的方法

• 利用卷积算子的符号（即洛朗多项式 h*(z)）将算子表示为 h*(τ⁻¹)，其中 τ 为移位算子。
• 应用 h*(τ⁻¹)c = 0 的解与 h*(z) 的零点之间的对偶性，证明指数序列 e_θ 属于核当且仅当 h*(θ⁻¹) = 0。
• 引入零维理想的格罗布纳重数理论，以描述零点具有重数时解的结构。
• 定义内积 (f,g) = (f(D)g)(0)，以分析 D-不变多项式子空间及其零化子。
• 通过周期性与对称性，利用变换 z ↦ z^Ξ 将细分算子与卷积算子关联。
• 证明细分算子符号 a* 的对称零点与相关 a_ξ* 多项式的公共零点一一对应，从而实现核的表征。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有紧支集掩码的 ℤ^s 上的离散卷积算子，其核的精确结构是什么？
• RQ2 多重变量洛朗多项式公共零点的重数如何决定齐次偏差分方程解的形式？
• RQ3 如何通过符号表征多维情形下平稳细分算子的核？
• RQ4 细分算子符号中对称零点在确定核结构方面起什么作用？
• RQ5 对称零点的重数与核序列中多项式增长的次数之间有何关系？

主要发现

• 任何 ℤ^s 上离散卷积算子的核恰好由指数多项式构成，其多项式次数由符号中对应零点的重数决定。
• 对于符号为 h*(z) 的卷积算子，其核同构于 ⊕_{θ∈Θ} e_θ · Π_{k_θ−1}，其中 k_θ 表示在 θ⁻¹ 处零点的重数。
• 平稳细分算子 S_a 的核为 ⨁_{θ∈Θ} P_θ e_θ，其中 P_θ 是次数为 k_θ 的多项式空间，前提是 θ^−Ξ⁻¹ 是符号 a* 中的 k_θ 阶对称零点。
• 细分算子符号 a* 的对称零点与所有 ξ ∈ Ξ 对应的 a_ξ* 多项式的公共零点之间存在一一对应关系。
• 符号 a* 中对称零点 θ^−Ξ⁻¹ 的重数等价于 a* 在该点所有阶数不超过 k_θ 的导数均为零。
• 变换 z ↦ z^Ξ 可通过周期性将细分核问题约化为卷积核问题，从而可应用格罗布纳重数理论。