[论文解读] Kernels of polarizations of abelian varieties over finite fields

Everett W. Howe|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用 7

一句话总结

本文通过格罗滕迪克群中的二阶挠元 $ I_{\text{C}} $ 建立了有限域上阿贝尔簇等化类中包含主极化簇的判定准则。证明了 $ I_{\text{C}} = 0 $ 当且仅当存在此类簇，并在韦尔数满足弱条件时，证明了每个单个奇维阿贝尔簇都与一个主极化簇等化。

ABSTRACT

Suppose $C$ is an isogeny class of abelian varieties over a finite field $k$. In this paper we give a partial answer to the question of which finite group schemes over $k$ occur as kernels of polarizations of varieties in $C$. We show that there is an element $I_C$ of a finite two-torsion group that determines which Jordan-Hölder isomorphism classes of finite commutative group schemes over $k$ contain kernels of polarizations. We indicate how the two-torsion group can be computed from the characteristic polynomial of the Frobenius endomorphism of the varieties in $C$, and we give some relatively weak sufficient conditions for the element $I_C$ to be zero. Using these conditions, we show that every isogeny class of simple odd-dimensional abelian varieties over a finite field contains a principally polarized variety. As a step in the proofs of these theorems, we prove that if $K$ is a CM-field and $A$ is a central simple $K$-algebra with an involution of the second kind, then every totally positive real element of $K$ is the reduced norm of a positive symmetric element of $A$.

研究动机与目标

• 确定有限域上哪些有限概化丛可作为给定阿贝尔簇等化类中极化的核。
• 刻画有限域上给定等化类中主极化阿贝尔簇的存在性。
• 定义并计算控制极化实现性的有限二阶挠群中的障碍元 $ I_{\text{C}} $。
• 提供 $ I_{\text{C}} = 0 $ 的充分条件，从而表明等化类中存在主极化簇。
• 建立每个有限域上单个奇维阿贝尔簇都与一个主极化簇等化。

提出的方法

• 定义等化类 $ \text{C} $ 中同态核的格罗滕迪克群 $ G(\text{Ker}_{\text{C}}) $，并构造其与 $ G(\text{Mod}_R) $ 的同构，其中 $ R $ 是由弗罗贝尼乌斯与弗勒斯蒂希自同态导出的实/CM-环。
• 引入子群 $ Z(R) \subset G(\text{Mod}_R) $，其包含可实现概化丛的类，并定义 $ Z(R) $ 的有限二阶挠商群 $ \mathcal{B}(R) $。
• 构造障碍元 $ I_{\text{C}} \in \mathcal{B}(R) $，使得给定概化丛作为极化核存在当且仅当该概化丛的类在 $ \mathcal{B}(R) $ 中映射到 $ I_{\text{C}} $。
• 证明 $ I_{\text{C}} = 0 $ 当且仅当等化类中包含一个主极化簇。
• 利用CM-域的结构及扩张 $ K/K^+ $ 中素数的行为，计算 $ \mathcal{B}(R) $，并确定 $ I_{\text{C}} = 0 $ 的条件。
• 证明：若 $ K $ 是CM-域，且在 $ K/K^+ $ 中存在一个有限素数分支，或一个整除 $ \pi - \overline{\pi} $ 的 $ K^+ $ 素数在 $ K/K^+ $ 中保持惰性，则 $ I_{\text{C}} = 0 $。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些有限交换概化丛可作为给定阿贝尔簇等化类中极化的核？
• RQ2 在何种条件下，有限域上阿贝尔簇的等化类包含一个主极化簇？
• RQ3 如何从等化类的韦尔数计算障碍元 $ I_{\text{C}} \in \mathcal{B}(R) $？
• RQ4 环 $ R = \mathbb{Z}[F, V] $ 在分类极化及其核中起什么作用？
• RQ5 为何每个有限域上单个奇维阿贝尔簇都存在主极化？

主要发现

• 等化类 $ \text{C} $ 包含一个主极化簇当且仅当障碍元 $ I_{\text{C}} \in \mathcal{B}(R) $ 为零。
• 对于具有全实域 $ K = \mathbb{Q}(\pi) $ 的单个等化类，障碍 $ I_{\text{C}} $ 恒为零，因此此类等化类包含一个主极化簇。
• 若 $ K $ 是CM-域，且在 $ K/K^+ $ 中存在一个有限素数分支，或一个整除 $ \pi - \overline{\pi} $ 的 $ K^+ $ 素数在 $ K/K^+ $ 中保持惰性，则 $ I_{\text{C}} = 0 $，因此 $ \text{C} $ 包含一个主极化簇。
• 每个有限域上单个奇维阿贝尔簇的等化类都包含一个主极化簇，这由奇维性条件导致 $ I_{\text{C}} $ 恒为零所证明。
• 障碍群 $ \mathcal{B}(R) $ 可从等化类的韦尔数计算得出，特别是通过CM扩张 $ K/K^+ $ 中素数的分解。
• 证明依赖于一个关键代数结果：CM-域 $ K $ 的每个正元素都是某个具有第二类对合的中心单 $ K $-代数中正对称元素的约化范数。