[论文解读] Key graph properties affecting transport efficiency of flip-flop Grover percolated quantum walks

Jan Mareš, Jaroslav Novotný+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 42被引用 3

一句话总结

本文提出一种通用方法，用于在任意有限连通简单图上的翻转-翻转Grover渗滤量子行走中构造束缚态的完备基，从而实现渐近输运效率的精确计算。研究揭示，图的几何结构、源/汇位置以及诸如死端子图等结构性特征对输运有关键影响，某些配置下可导出渐近输运概率的闭式公式。

ABSTRACT

Quantum walks exhibit properties without classical analogues. One of those is the phenomenon of asymptotic trapping -- there can be non-zero probability of the quantum walker being localised in a finite part of the underlying graph indefinitely even though locally all directions of movement are assigned non-zero amplitudes at each step. We study quantum walks with the flip-flop shift operator and the Grover coin, where this effect has been identified previously. For the version of the walk further modified by a random dynamical disruption of the graph (percolated quantum walks) we provide a recipe for the construction of a complete basis of the subspace of trapped states allowing to determine the asymptotic probability of trapping for arbitrary finite connected simple graphs, thus significantly generalizing the previously known result restricted to planar 3-regular graphs. We show how the position of the source and sink together with the graph geometry and its modifications affect the excitation transport. This gives us a deep insight into processes where elongation or addition of dead-end subgraphs may surprisingly result in enhanced transport and we design graphs exhibiting this pronounced behavior. In some cases this even provides closed-form formulas for the asymptotic transport probability in dependence on some structure parameters of the graphs.

研究动机与目标

• 将渗滤Grover量子行走中束缚态的分类从平面3-正则图扩展至所有有限连通简单图。
• 识别决定渐近输运效率的关键图属性，如顶点度、连通性及子图拓扑结构。
• 提供系统化方法以构造束缚态的完备基，从而实现渐近输运概率的精确计算。
• 展示通过延长路径或添加死端子图等结构修改，可出人意料地提升输运效率。

提出的方法

• 对具有有向边和自环的状态图上的翻转-翻转Grover量子行走进行形式化定义。
• 应用Grover位运算符和翻转-翻转位移算符以定义酉时间演化。
• 引入动力学渗滤作为随机扰动机制，以稳定渐近动力学并揭示束缚态。
• 通过矩阵分块分析与对称性约束，推导出吸引子（行走演化算符的本征态）的必要与充分条件。
• 通过证明所有非p-吸引子均为单位算符（平凡非p-吸引子）与p-吸引子的线性组合，证明束缚子空间的完备性。
• 利用结构对称性与顶点度约束对束缚态进行分类，并推导输运概率。

实验结果

研究问题

• RQ1 图的拓扑结构与顶点度分布如何影响渗滤Grover量子行走中束缚态的存在性与结构？
• RQ2 源与汇的位置在决定渐近输运效率中起什么作用？
• RQ3 在量子行走中，添加死端子图或延长路径是否能提升输运效率？
• RQ4 在何种条件下，渐近输运概率可表示为闭式解析表达式？
• RQ5 如何为任意有限连通简单图系统化地构造束缚态的完备基？

主要发现

• 本文建立了一种通用方法，可在任意有限连通简单图上，针对翻转-翻转Grover渗滤量子行走构造束缚态的完备基。
• 研究表明，束缚态由单位算符与p-吸引子张成，不存在其他独立的非p-吸引子。
• 具有延长路径或死端子图的图可因对称性与本征求结构而意外提高渐近输运概率。
• 对于某些图类，渐近输运概率以闭式表达，其形式取决于顶点度与子图尺寸等结构参数。
• 源与汇位置与图几何结构之间的相互作用被证明是决定输运效率的关键因素，且观察到非单调行为。
• 在渗滤作用下，渐近动力学被简化，揭示了幸存的束缚态，从而实现束缚态的精确分类与输运概率的精确计算。