[论文解读] Khintchine type inequalities for reduced free products and Applications

Éric Ricard, Quanhua Xu|arXiv (Cornell University)|May 14, 2005

Advanced Operator Algebra Research参考文献 23被引用 3

一句话总结

本论文为C*-代数和冯诺依曼代数的约化自由积中的固定长度词建立了Khintchine型不等式，证明了到长度为$d$的词的子空间的投影是完全有界的，且其范数关于$d$线性。这些结果被应用于证明精确性与完全收缩逼近性质（CCAP）在约化自由积下的稳定性，包括证明常数为1的弱阿勉群的自由积仍保持弱阿勉性且常数为1。

ABSTRACT

We prove Khintchine type inequalities for words of a fixed length in a reduced free product of $C^*$-algebras (or von Neumann algebras). These inequalities imply that the natural projection from a reduced free product onto the subspace generated by the words of a fixed length $d$ is completely bounded with norm depending linearly on $d$. We then apply these results to various approximation properties on reduced free products. As a first application, we give a quick proof of Dykema's theorem on the stability of exactness under the reduced free product for $C^*$-algebras. We next study the stability of the completely contractive approximation property (CCAP) under reduced free product. Our first result in this direction is that a reduced free product of finite dimensional $C^*$-algebras has the CCAP. The second one asserts that a von Neumann reduced free product of injective von Neumann algebras has the weak-$*$ CCAP. In the case of group $C^*$-algebras, we show that a free product of weakly amenable groups with constant 1 is weakly amenable.

研究动机与目标

• 将Khintchine型不等式推广至C*-代数和冯诺依曼代数的约化自由积中固定长度$d$的词。
• 证明到长度为$d$的词的子空间的投影是完全有界的，且其范数关于$d$线性。
• 应用这些不等式证明在约化自由积下逼近性质（尤其是精确性与完全收缩逼近性质，CCAP）的稳定性。
• 解决关于群C*-代数与注入型冯诺依曼代数的自由积中弱阿勉性与CCAP保持性的开放问题。

提出的方法

• 证明Buchholz不等式在约化自由积中C*-代数的长度为$d$的词上的自由积版本，常数为$2d+1$。
• 利用算子空间理论，特别是Haagerup张量积与行/列Hilbert空间，分析自由积的结构。
• 应用Khintchine型不等式，证明到第$d$个齐次分量的投影是完全有界的，其范数为$O(d)$。
• 利用模形式Haagerup张量积的普遍性质，将不等式推广至合并情形。
• 通过证明相关Haagerup张量积的1-精确性，证明精确性在约化自由积下被保持。
• 利用对$d$的线性依赖关系，证明有限维C*-代数的CCAP稳定性，以及注入型冯诺依曼代数的弱-* CCAP稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Khintchine型不等式能否从长度1推广至C*-代数约化自由积中任意固定长度$d$？
• RQ2 到长度为$d$的词的子空间的投影是否完全有界？其范数对$d$的依赖关系如何？
• RQ3 完全收缩逼近性质（CCAP）在C*-代数与冯诺依曼代数的约化自由积下是否保持？
• RQ4 常数为1的弱阿勉离散群的自由积是否保持弱阿勉性？
• RQ5 能否通过算子空间技术和Khintchine不等式证明精确性在约化自由积下的稳定性？

主要发现

• 在约化自由积中，由固定长度$d$的词生成的子空间的投影是完全有界的，其范数至多为$2d+1$，关于$d$线性。
• 将Haagerup-Pisier不等式的自由积版本推广至任意长度$d$，上界常数为$2d+1$。
• 有限维C*-代数的约化自由积具有完全收缩逼近性质（CCAP）。
• 相对于正规态的注入型冯诺依曼代数的约化自由积具有弱-* CCAP。
• 常数为1的弱阿勉离散群的自由积仍保持弱阿勉性且常数为1。
• 通过Khintchine不等式与Haagerup张量积的1-精确性，建立了精确性在约化自由积下的稳定性。