[论文解读] Khovanov-Rozansky homology and higher Catalan sequences

Matthew Hogancamp|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 22被引用 20

一句话总结

本文提出了一种递归方法，用于计算无限族的环面扭结和链环的三重分次Khovanov-Rozansky同调，包括$(n,nm\pm1)$和$(n,nm)$环面链环，方法基于Soergel双模的特殊复形。关键结果证明了Gorsky的猜想，并通过最近由Carlsson和Mellit证明的$m$-shuffle猜想，将同调与对称函数联系起来，从而确认了这些链环的Gorsky-Oblomkov-Rasmussen-Shende猜想。

ABSTRACT

We give a simple recursion which computes the triply graded Khovanov-Rozansky homology of several infinite families of knots and links, including the $(n,nm\pm 1)$ and $(n,nm)$ torus links for $n,m\geq 1$. We interpret our results in terms of Catalan combinatorics, proving a conjecture of Gorsky's. Our computations agree with predictions coming from Hilbert schemes and rational DAHA, which also proves the Gorsky-Oblomkov-Rasmussen-Shende conjectures in these cases. Additionally, our results suggest a topological interpretation of the symmetric functions which appear in the context of the $m$-shuffle conjecture of Haglund-Haiman-Loehr-Remmel-Ulyanov.

研究动机与目标

• 开发一种递归方法，用于计算无限族环面扭结和链环的三重分次Khovanov-Rozansky同调。
• 证明Gorsky的猜想：即$(n,n+1)$环面扭结的同调Poincaré系列中最小$a$-度部分等于$q,t$-Catalan多项式$C_n(q,t)$。
• 通过链环同调，为Haglund-Haiman-Loehr-Remmel-Ulyanov的$m$-shuffle猜想中出现的对称函数提供拓扑解释。
• 利用新递归和$\nabla^m e_n$的已知结果，确认$(n,nm\pm1)$和$(n,nm)$环面链环的Gorsky-Oblomkov-Rasmussen-Shende猜想。

提出的方法

• 引入一族由序列$v \in \{0,1,\ldots,m\}^n$索引的Soergel双模特殊复形$\mathbf{C}_v^{(m)}$。
• 建立KR系列$f_v^{(m)}$和$g_v^{(m)}$关于$q,t,a$的递归公式，包含基例和基于小于$m$或$k$的条目数的递推规则。
• 利用Hall内积和对称函数上的$\nabla^m$算子，将同调与$\nabla^m e_n$及$\nabla^m s_{i,1^{n-i}}$联系起来。
• 应用最近被证明的$m$-shuffle猜想（Carlsson-Mellit），将同调公式与涉及Dyck路径的对称函数展开相匹配。
• 依赖categorified Young对称化子和Rouquier复形，将代数递归与链环的拓扑不变量联系起来。
• 通过GNR对应关系，建立复形的KR系列与对应链环同调Poincaré系列之间的对应关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 $(n,nm+1)$环面扭结的三重分次Khovanov-Rozansky同调的Poincaré系列是否与对称函数表达式$\frac{1}{1-q}\sum_{k=0}^n \langle \nabla^m e_n, h_k e_{n-k} \rangle a^k$一致？
• RQ2 $(n,nm)$和$(n,nm\pm1)$环面链环的同调是否能通过Soergel双模复形的统一递归公式计算？
• RQ3 对称函数$\nabla^m s_{i,1^{n-i}}$和$\nabla^m p_n$是否存在基于链环同调的拓扑解释？
• RQ4 关于$f_v^{(m)}$和$g_v^{(m)}$的递归是否能正确重现$\nabla^m e_n$和$m$-shuffle猜想的已知公式？
• RQ5 Soergel双模复形的组合影子在$\nabla^m$算子下是否可识别为Hall-Littlewood或Schur函数？

主要发现

• $(n,nm+1)$环面扭结的KR系列为$\frac{1}{1-q}\sum_{k=0}^n \langle \nabla^m e_n, h_k e_{n-k} \rangle a^k$，从而证明了该族的Gorsky猜想。
• 该系列的$a^0$系数为更高阶的$q,t$-Catalan多项式$C_n^{(m)}(q,t)$，而$a^k$系数为更高阶的$q,t$-Schröder多项式。
• $g_v^{(m)}$的递归公式计算了$(n,nm+1)$环面扭结的同调，其$g_{m^n}^{(m)}$项与$m$-shuffle猜想的对称函数展开一致。
• $g_v^{(m)}$的公式与链环同调和$\nabla^m$-作用于对称函数之间的猜想对应关系一致，尤其对$\nabla^m s_{i,1^{n-i}}$成立。
• 本文通过新递归和$m$-shuffle定理，确认了$(n,nm+1)$和$(n,nm)$环面链环的Gorsky-Oblomkov-Rasmussen-Shende猜想。
• 提出了关于某些复形同调与Hall-Littlewood函数及$\nabla^m p_n$之间联系的猜想，其支持来自$m$-shuffle猜想和对称函数恒等式。