[论文解读] Kinematic analysis of the 3-RPR parallel manipulator

Damien Chablat, Philippe Wenger+1 more|ArXiv.org|Aug 29, 2007

Robotic Mechanisms and Dynamics参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文针对基座上具有驱动旋转关节的平面3-RPR并联操作器进行了全面的运动学分析。通过向量和矩阵公式推导了正向与反向运动学，表征了并联与串联奇异性，并确定了在特定关节角配置下，操作器的运动可模拟Reuleaux直线运动机构，从而实现长度精确为2的直线位移。

ABSTRACT

The aim of this paper is the kinematic study of a 3-RPR planar parallel manipulator where the three fixed revolute joints are actuated. The direct and inverse kinematic problem as well as the singular configuration is characterized. On parallel singular configurations, the motion produce by the mobile platform can be compared to the Reuleaux straight-line mechanism.

研究动机与目标

• 分析基座上具有驱动旋转关节的3-RPR平面并联操作器的运动学。
• 使用向量和矩阵公式表征正向与反向运动学问题。
• 识别并分类操作器工作空间中的并联与串联奇异性。
• 研究操作器运动模拟Reuleaux直线运动机构的条件。
• 确定导致退化Cardanic曲线和无限解集的几何与运动学条件。

提出的方法

• 通过三个基于杆件的运动学链计算操作平台工作点P的速度，每个链包含驱动关节速率和平台方位角。
• 通过与旋转单位向量点乘，消除冗余关节速率，得到线性方程组。
• 建立正向运动学矩阵A与反向运动学矩阵B，从而计算操作器的雅可比矩阵J = A⁻¹B。
• 将并联奇异性识别为det(A) = 0的构型，表示刚度丧失与控制能力丧失。
• 将串联奇异性识别为det(B) = 0的构型，特别是当任意ρᵢ = 0时，标志着可达工作空间的边界。
• 使用几何与三角方法，通过求解Cardanic曲线与移动副约束的交点，解决正向运动学问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下3-RPR操作器表现出并联奇异性，其对控制性与刚度有何影响？
• RQ2 如何使用向量与矩阵方法，对3-RPR操作器的正向与反向运动学进行解析公式化？
• RQ3 Cardanic曲线在何种情况下发生退化，此时会出现何种运动学行为？
• RQ4 何种特定关节角配置会导致操作平台的运动模拟Reuleaux直线运动机构？
• RQ5 当操作器表现为Reuleaux机构时，工作点P的精确位移幅值是多少？

主要发现

• 并联奇异性发生在三个垂直于移动副轴的法线相交时，且det(A) = 0，导致控制能力丧失及无法抵抗外力螺旋。
• 矩阵A的行列式由涉及sin(θ₃−θ₁−θ₂)、sin(θ₃−θ₁+θ₂)、sin(θ₃+θ₁−θ₂)、cos(θ₃+θ₁−θ₂)和cos(θ₃−θ₁+θ₂)的三角函数表达式给出，当该表达式为零时发生奇异性。
• 当θ₁ = θ₂ = θ₃时，奇异性出现在无穷远处，允许沿移动副轴的纯平动运动。
• 串联奇异性发生在任意ρᵢ = 0时，限制操作器在某些笛卡尔方向产生运动的能力。
• 当θ₂−θ₁ = π/3或θ₁−θ₂ = π/3，且θ₃−θ₁ = π/3或θ₁−θ₃ = π/3，且θ₁ ≠ θ₂ ≠ θ₃时，Cardanic曲线发生退化，导致无限多解并表现出Reuleaux机构行为。
• 在Reuleaux机构条件下，操作平台工作点P沿长度为2的直线运动，且在A₁与A₂处的位移幅值均为4√3/3。