[论文解读] Kinetic description of thermalization dynamics in weakly interacting quantum systems

Michael Stark, Marcus Kollar|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2013

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics被引用 12

一句话总结

该论文提出了一套动力学理论，统一描述了弱相互作用费米子 Hubbard 模型在相互作用突然变化后出现的预热化与量子 Boltzmann 动力学。通过推导适用于所有时间尺度的完整动力学方程，该理论表明系统从一个由微扰理论和广义 Gibbs 系综描述的预热化态演化为最终的热平衡态，其动量分布与平衡态预测一致，弛豫速率与费米液体理论相符。

ABSTRACT

After a sudden disruption, weakly interacting quantum systems first relax to a prethermalized state that can be described by perturbation theory and a generalized Gibbs ensemble. Using these properties of the prethermalized state we perturbatively derive a kinetic equation which becomes a quantum Boltzmann equation in the scaling limit of vanishing interaction. Applying this to interaction quenches in the fermionic Hubbard model we find that the momentum distribution relaxes to the thermal prediction of statistical mechanics. For not too large interaction, this two-stage scenario provides a quantitative understanding of the time evolution leading from the initial pure via a metastable prethermal to the final thermal state.

研究动机与目标

• 为弱相互作用量子系统中的热化动力学提供一个涵盖预热化与长时间热化过程的统一理论框架。
• 推导一个适用于所有时间尺度的动力学方程，包括预热化区域和量子 Boltzmann 方程（QBE）区域。
• 定量描述无限维度晶格中费米子 Hubbard 模型从亚稳态预热化态到热平衡态的演化过程。
• 将 QBE 区域中的弛豫动力学与平衡多体理论联系起来，特别是与费米面上附近准粒子寿命相关联。
• 通过与数值精确的非平衡 DMFT 数据对比，验证理论，并提取与热平衡预测及弛豫速率的一致性结果。

提出的方法

• 利用预热化态的性质（由广义 Gibbs 系综和微扰理论描述）对弱相互作用系统进行微扰推导，获得动力学方程。
• 将系统缩放至相互作用趋于零的极限，以获得适用于长时间区域的量子 Boltzmann 方程（QBE）。
• 在无限维度晶格中应用完整动力学方程于费米子 Hubbard 模型，以动力学平均场理论（DMFT）为理论框架。
• 利用 QBE 区域中动能守恒的性质，通过 Sommerfeld 展开确定最终热平衡态的有效温度。
• 通过将分布函数替换为热 Fermi 函数，分析费米面上的弛豫速率，从而导出偏离平衡态的速率方程。
• 将 QBE 的预测与数值精确的非平衡 DMFT 数据进行对比，包括动量分布和费米面上的不连续性，以验证理论。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何构建一个统一的动力学理论，以同时描述弱相互作用量子系统中的预热化与热化？
• RQ2 在能量和动量分布方面，预热化态与最终热平衡态之间存在何种定量关系？
• RQ3 QBE 区域中费米面上的弛豫速率与平衡态准粒子寿命相比如何？
• RQ4 完整的动力学方程能否同时再现短时间的预热化动力学和长时间的量子 Boltzmann 行为？
• RQ5 最终态的有效温度在多大程度上与平衡统计力学的预测一致？

主要发现

• 完整动力学方程在短时间尺度上成功捕捉了预热化动力学，在长时间尺度上准确再现了量子 Boltzmann 方程（QBE）区域的行为，与数值精确的 DMFT 数据在两个区域均高度一致。
• 最终热平衡态的有效温度通过 Sommerfeld 展开被准确预测，得到 $ T = aU $，其中 $ a = 0.20 $，当 $ U = 0.75 $ 时，与模拟结果极为吻合。
• 费米面上的弛豫速率为 $ \bar{\rho}_{\text{F}} = \frac{1}{2} \bar{\rho}_{\text{F}} $，其中 $ \bar{\rho}_{\text{F}} = \frac{1}{2} \bar{\rho}_{\text{F}} $，且非平衡弛豫的渐近时间尺度与平衡准粒子寿命 $ \tau_{\text{F}} = 2 / \bar{\rho}_{\text{F}} $ 在 $ T^2 U^2 $ 的主导阶次上完全一致。
• 费米面上的不连续性 $ \bar{\rho}_{\text{F}} $ 按指数方式弛豫为 $ \bar{\rho}_{\text{F}} \to \bar{\rho}_{\text{F}} $，其中 $ \bar{\rho}_{\text{F}} = 0.038 U^4 $，与速率方程的理论预测 $ a^2 = 0.040 $ 良好一致。
• 动量分布随时间演化，最终与统计力学的热平衡预测完全一致，证实了在相互作用不太大的情况下系统实现了热化。
• 该理论为弱相互作用费米系统中两阶段热化过程——预热化后接续量子 Boltzmann 弛豫——提供了定量且统一的描述。