[论文解读] Kinetic maximal $L^p$-regularity with temporal weights and application to quasilinear kinetic diffusion equations

Lukas Niebel, Rico Zacher|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2020

Numerical methods in inverse problems参考文献 24被引用 4

一句话总结

本文为分数阶柯尔莫哥洛夫方程引入了带时间权重的动能最大 $L^p$-正则性，证明了解属于加权勒贝格空间，并且在时间上连续取值于各向异性的贝索夫迹空间。主要贡献在于为变系数动能方程建立了这种正则性，并将其应用于证明拟线性动能扩散方程的局部解存在性。

ABSTRACT

We introduce the concept of kinetic maximal $L^p$-regularity with temporal weights and prove that this property is satisfied for the (fractional) Kolmogorov equation. We show that solutions are continuous with values in the trace space and prove, in particular, that the trace space can be characterized in terms of anisotropic Besov spaces. We further extend the property of kinetic maximal $L^p_μ$-regularity to the Kolmogorov equation with variable coefficients. Finally, we show how kinetic maximal $L^p_μ$-regularity can be used to obtain local existence of solutions to a class of quasilinear kinetic equations and illustrate our result with a quasilinear kinetic diffusion equation.

研究动机与目标

• 为线性和拟线性动能偏微分方程发展一种新的正则性框架——带时间权重的动能最大 $L^p$-正则性。
• 以各向异性的贝索夫空间表征动能方程解的迹空间，将经典正则性理论扩展至动能设定。
• 将最大 $L^p$-正则性理论推广至具有变系数的柯尔莫哥洛夫方程，克服标准理论因非全纯半群而失效的局限性。
• 将所发展的正则性理论应用于证明一类拟线性动能扩散方程的局部解存在性。
• 建立带时间权重的动能方程解的瞬时光滑性及取值于迹空间的时间连续性。

提出的方法

• 引入空间 $\mathbb{E}_\mu(0,T) = \mathcal{T}_\mu^p((0,T);L^q(\mathbb{R}^{2n})) \cap L^p_\mu((0,T);H_v^{\beta,q}(\mathbb{R}^{2n}))$，以捕捉带时间权重的动能与分数阶扩散正则性。
• 通过建立 $\partial_t u + v\cdot\nabla_x u$ 和 $(-\Delta_v)^{\beta/2}u$ 的加权 $L^p$-估计，证明分数阶柯尔莫哥洛夫方程的动能最大 $L^p_\mu(L^q)$-正则性。
• 利用 $\mathbb{R}^{2n+1}$ 上的齐次群结构分析动能算子 $\partial_t + v\cdot\nabla_x$，并导出在各向异性缩放下不变的估计。
• 将迹空间 $X_{\gamma,\mu}$ 表征为各向异性的贝索夫空间 $B_{qp}^{\mu-1/p, \alpha}(\mathbb{R}^{2n})$，其中 $\alpha = (3/2,\dots,3/2,1/2,\dots,1/2)$，将解的正则性与函数空间理论联系起来。
• 应用米赫林乘子定理，确保伪微分算子在各向异性的贝索夫空间上有界，从而保证分数阶拉普拉斯算子及相关算子的连续性。
• 在加权正则性空间 $\mathbb{E}_\mu(0,T)$ 中使用不动点论证，证明拟线性动能方程的局部解存在性，利用迹空间的连续性与嵌入定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有 $p,q \in (1,\infty)$ 和 $\mu \in (1/p,1]$ 的分数阶柯尔莫哥洛夫方程建立带时间权重的动能最大 $L^p$-正则性？
• RQ2 如何以各向异性的贝索夫空间表征动能方程解的迹空间？
• RQ3 动能最大 $L^p_\mu$-正则性是否可推广至具有变系数的柯尔莫哥洛夫方程？
• RQ4 能否利用动能最大 $L^p_\mu$-正则性证明拟线性动能扩散方程解的局部存在性？
• RQ5 带时间权重的动能方程中，瞬时光滑性及取值于迹空间的时间连续性起什么作用？

主要发现

• 对于 $p,q \in (1,\infty)$ 和 $\mu \in (1/p,1]$，分数阶柯尔莫哥洛夫方程的动能最大 $L^p_\mu(L^q)$-正则性成立，将先前结果推广至一般 $p,q$ 和加权范数。
• 动能方程的解在时间上连续取值于迹空间 $X_{\gamma,\mu} = (L^q(\mathbb{R}^{2n}), D(A))_{\mu-1/p,p}$，该空间被识别为各向异性的贝索夫空间 $B_{qp}^{\mu-1/p, \alpha}(\mathbb{R}^{2n})$，其中 $\alpha = (3/2,\dots,3/2,1/2,\dots,1/2)$。
• 若 $\mu - 1/p > 1/2 + 2n/q$，则迹空间 $X_{\gamma,\mu}$ 嵌入 $C_0(\mathbb{R}^{2n})$，确保解的逐点连续性。
• 分数阶拉普拉斯算子 $(-\Delta_v)^{\beta/2}$ 连续映射 $B_{qp}^{s,\alpha}(\mathbb{R}^{2n})$ 到 $B_{qp}^{s-\beta/2,\alpha}(\mathbb{R}^{2n})$，保持各向异性结构。
• 当 $\mu \in (1/p,1]$ 时，若 $\mu - 1/p > 1/2 + 2n/q$，则空间 ${{}^\mathrm{kin}B}}_{qp}^{\mu-1/p,2}(\mathbb{R}^{2n})$ 嵌入 $C_0^1(\mathbb{R}^{2n})$，意味着解迹具有更高正则性。
• 通过在空间 $\mathbb{E}_\mu(0,T)$ 中使用不动点论证，建立了拟线性动能扩散方程解的局部存在性，其基础是动能最大 $L^p_\mu$-正则性框架。