[论文解读] Kirillov's formula and Guillemin-Sternberg conjecture

Michel Duflo, Michèle Vergne|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文通过使用基利洛夫特征公式和杜伊斯特马特-赫克曼测度，为半单李群的非紧伴随轨道提供了格里明-施特恩伯格猜想的新证明。它表明，在满足恰当性条件时，由伴随轨道 M 关联的酉表示中，紧致子群 H 的不可约表示的重数可通过 момента-отображения p:M→h* 的纤维计算得出，使用广义函数和 Â-特征修正，扩展了帕拉丹的早期结果。

ABSTRACT

Let G be a connected reductive real Lie group, and H a compact connected subgroup. Harish-Chandra associates to a regular coadjoint admissible orbit M of G some unitary representations of G. Using the character formula for these representations, we show that the multiplicities of the restriction to H can be computed, under a suitable properness assumption, in terms of the fibers of the restriction map from M to the dual of the Lie algebra of H. In particular, this gives an alternate proof of a result of Paradan.

研究动机与目标

• 为由半单李群的非紧哈密顿流形（作为伴随轨道）的格里明-施特恩伯格猜想提供一个替代证明。
• 建立一个公式，用于计算与一个正则伴随轨道 M 关联的酉表示 Π 中，紧致子群 H 的不可约表示的重数。
• 证明当 момента-отображения p:M→h* 恰当时，这些重数由 p 的纤维决定。
• 通过特征理论和几何方法，将“量子化与约化可交换”原理推广至非最大维数的伴随轨道。
• 通过杜伊斯特马特-赫克曼测度和顶点贡献，将 Â-特征修正纳入其中，以恢复奇异约化空间的正确量子化。

提出的方法

• 使用基利洛夫特征公式，将酉表示 Π 的特征与伴随轨道 M 上的 Liouville 测度 β_M 的傅里叶变换联系起来。
• 将 Π 在 H 上的限制表示为重数函数 m(ν) 与中心化 Box 多面体 B_c(Φ) 的卷积，其中 Φ 编码了 g/h 的根系。
• 将杜伊斯特马特-赫克曼测度 DH(M,p) 定义为 h* 上的分段多项式测度，其纤维编码了约化空间 M_ν。
• 通过 t∈T（环面元素）引入顶点贡献，以处理约化空间中的奇点，为每个顶点 s 定义广义测度 DH(M,s,τ)。
• 使用 Dahmen-Micchelli 去卷积公式，反转卷积操作，从 DH 测度中恢复重数函数 m(ν)。
• 对约化空间 M_ν 应用 Â-特征修正，将 r(ν) = Â(Φ)d^a(ν) 解释为当系统为单模时的量子化 Q(M_ν)。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从 момента-отображения p:M→h* 的纤维计算出半单群 G 的伴随轨道 M 关联的酉表示中，H-表示的重数？
• RQ2 当 момента-отображения p 是恰当的时，即使轨道不是最大维数，非紧伴随轨道是否仍满足“量子化与约化可交换”原理？
• RQ3 如何将 Â-特征修正纳入杜伊斯特马特-赫克曼测度，以恢复奇异约化空间的正确量子化？
• RQ4 环面元素 s 作用下的不动点子流形 M(s) 在重构重数函数 m(ν) 中起什么作用？
• RQ5 能否从所有顶点 s∈T 关联的广义杜伊斯特马特-赫克曼测度 DH(M,s,τ) 中恢复重数函数 m(ν)？

主要发现

• 当 момента-отображения p:M→h* 恰当时，酉表示 Π 在 H 上的限制中，不可约 H-表示 Π^H(ν) 的重数由 Q(M_ν) 给出，即约化空间 M_ν 的量子化。
• 公式 Q(M)|_H = ∑_{ν∈P_h^+ ∩ p(M)^0} Q(M_ν) Q(Hν) 对于 p 的像内部的所有正则 ν 成立，扩展了帕拉丹的结果。
• 通过 Dahmen-Micchelli 去卷积公式，利用 Box 多面体卷积的逆运算，恢复了重数函数 m(ν)。
• 当根系 Φ 为单模时，约化空间 M_ν 是光滑的，且 Q(M_ν) ∈ ℤ 为 M_ν 的整数值量子化。
• 在非单模情形下，重数通过测度 DH(M,s,τ) 的顶点贡献重构，其中包含局部符号 ε(s,τ) 和不动点数据。
• 当系统为单模时，Â-特征修正 r(ν) = Â(Φ)d^a(ν) 等于 Q(M_ν)，在奇异情形下通过广义测度提供正确的修正。