[论文解读] KK-theory and Spectral Flow in von Neumann Algebras

Jens Kaad, Ryszard Nest+1 more|ArXiv.org|Jan 11, 2007

Advanced Operator Algebra Research被引用 15

一句话总结

本文引入了一种在冯诺依曼代数模范数闭理想下的自伴算子路径的 $K$-理论值谱流不变量，推广了数值谱流。它建立了凯斯帕罗夫积公式，表明狄拉克算子与其酉共轭之间的冯诺依曼谱流等于该酉与谱三元组类的凯斯帕罗夫积，从而在非交换几何中统一了 $KK$-理论、谱流与指标理论。

ABSTRACT

We present a definition of spectral flow relative to any norm closed ideal J in any von Neumann algebra N. Given a path D(t) of selfadjoint operators in N which are invertible in N/J, the spectral flow produces a class in K_0(J). In the case when N is semifinite, the numerical spectral flow of the path coincides with the value of trace on the associated K-class. Given a semifinite spectral triple (A,H,D) relative to a semifinite von Neumann algebra N, we construct a class [D] in KK^1(A,N') such that, for a unitary u in A, the von Neumann spectral flow between D and u*Du is equal to the Kasparov product of [u] and [D].

研究动机与目标

• 为冯诺依曼代数模范数闭理想的自伴算子路径发展一种 $K$-理论值谱流不变量。
• 通过引入冯诺依曼谱三元组，将半有限谱三元组理论推广至一般冯诺依曼代数。
• 通过从谱三元组构造凯斯帕罗夫类并证明其与 $K_1$-类的配对产生谱流，建立谱流与 $KK$-理论的关系。
• 通过与迹的关系，将谱流不变量与 $C^*$-谱流及数值谱流联系起来，实现其精化。
• 提供一个统一框架，其中谱流受 $K$-理论约束，相较于仅依赖数值度量，提供了更强的分析与拓扑约束。

提出的方法

• 为对 $(N, J)$ 定义一个 $K_0(J)$-值指标理论，其中 $N$ 是冯诺依曼代数，$J$ 是范数闭理想，利用 $K$-理论中的边界映射。
• 将冯诺依曼谱流构造为类 $[N(S)] - [N(S^*)] riangleq eta[ ilde{u}] o K_0(J)$，其中 $S$ 是模 $J$ 的可逆算子路径。
• 将冯诺依曼谱三元组引入为半有限谱三元组的推广，定义在 $(N, J)$ 上，包含一个狄拉克算子和一个作用在希尔伯特模上的 $*$-代数。
• 从谱三元组构造凯斯帕罗夫类 $[ ilde{ ho}] riangleq [ ho] times ilde{ ho} imes ext{sign}( ilde{D})$，属于 $KK^1(A, ilde{ ho}(A) times ilde{ ho}(A)^{op})$。
• 证明对于酉算子 $u o u^*Du$，冯诺依曼谱流等于 $KK^1(A, ilde{ ho}(A) times ilde{ ho}(A)^{op})$ 中的凯斯帕罗夫积 $[u] times [ ilde{ ho}]$。
• 通过限制到 $ au$-有限子代数，将精化的 $C^*$-谱流与冯诺依曼谱流联系起来，并通过迹将两者与数值谱流关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 在冯诺依曼代数的背景下，谱流如何被推广至超越数值不变量的 $K$-理论值不变量？
• RQ2 模理想 $J$ 的自伴算子路径的谱流与 $K$-理论群 $K_0(J)$ 之间的确切关系是什么？
• RQ3 酉算子 $u$ 与谱三元组类 $[ ilde{ ho}]$ 的凯斯帕罗夫积如何在冯诺依曼设定下重现谱流？
• RQ4 $C^*$-谱流与数值谱流如何精化或与 $K$-理论值冯诺依曼谱流相关联？
• RQ5 $K$-理论值谱流是否能约束数值谱流的可能取值，特别是在半有限冯诺依曼代数中？

主要发现

• 在冯诺依曼代数 $N$ 中，若自伴算子路径模范数闭理想 $J$ 可逆，则其冯诺依曼谱流通过 $K$-理论中的边界映射定义为 $K_0(J)$ 中的类。
• 对于相对于 $(N, au)$ 的半有限谱三元组 $( ho, H, ilde{D})$，构造得到类 $[ ilde{ ho}] riangleq [ ho] times ilde{ ho} imes ext{sign}( ilde{D})$，属于 $KK^1(A, ilde{ ho}(A) times ilde{ ho}(A)^{op})$。
• 狄拉克算子 $ ilde{D}$ 与 $u^* ilde{D}u$ 之间的冯诺依曼谱流等于 $KK^1(A, ilde{ ho}(A) times ilde{ ho}(A)^{op})$ 中的凯斯帕罗夫积 $[u] times [ ilde{ ho}]$。
• $C^*$-谱流通过限制目标 $K$-理论群至 $ au$-有限 $ au$-酉子代数的 $K_0( ho(A))$ 而定义，其精化了冯诺依曼谱流。
• 通过迹 $ au$ 计算的数值谱流与 $K$-理论值谱流的关系由公式 $ \text{sf}_{\text{num}}(\tilde{D}, u^*\tilde{D}u) = \tau \big( \text{Tr}(\text{sign}(\tilde{D}) - \text{sign}(u^*\tilde{D}u)) \big) $ 给出，与 $K$-理论不变量一致。
• $K$-理论值谱流对数值谱流的可能取值施加了约束，尤其在半有限情形下，后者原本可为任意实数。