[论文解读] Kleene Algebra with Observations

Tobias Kappé, Paul Brunet+4 more|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2018

Formal Methods in Verification被引用 2

一句话总结

本文提出了带观测的克莱尼代数（KAO），一种代数框架，可区分测试的顺序复合与合取，从而解决在扩展到并发时克莱尼代数带测试（KAT）中存在的根本性缺陷。作者基于基于自动机的语言模型，建立了KAO的可靠且完备的等式理论，并通过非确定性有限自动机上的合 congruence 模型，提供了等价性的决策过程。

ABSTRACT

Kleene algebra with tests (KAT) is an algebraic framework for reasoning about the control flow of sequential programs. Generalising KAT to reason about concurrent programs is not straightforward, because axioms native to KAT in conjunction with expected axioms for concurrency lead to an anomalous equation. In this paper, we propose Kleene algebra with observations (KAO), a variant of KAT, as an alternative foundation for extending KAT to a concurrent setting. We characterise the free model of KAO, and establish a decision procedure w.r.t. its equational theory.

研究动机与目标

• 本文解决了由于异常等式 p·e·p ≡ 0 所导致的克莱尼代数带测试（KAT）与并发程序推理不兼容的问题。
• 它指出，KAT将测试合取与顺序复合等同处理，导致在并发环境中交错执行可能改变测试结果，从而产生错误行为。
• 目标是提出KAO作为基础代数框架，将观测测试与顺序复合分离，从而实现对并发的稳定扩展。
• 目标是建立KAO的完备等式理论，并提供KAO表达式等价性的决策过程。

提出的方法

• 本文将KAO定义为克莱尼代数的扩展，引入一种新的观测操作，其中测试被解释为可观测状态的集合。
• 它提出一种基于非确定性有限自动机（NFA）的KAO语言模型，其中表达式表示动作和原子上的单词语言。
• 通过基于导数的方法和合 congruence 上的双生性，证明了KAO的等式理论相对于该语言模型是可靠且完备的。
• 通过将KAO等价性归约为NFA的语言等价性，利用标准的NFA等价性检查算法，建立了KAO等价性的决策过程。
• 证明策略实现了职责分离：核心KAO公理由导数和自动机构造处理，而标准克莱尼代数结果则用于完成论证。
• 使用合 congruence 上的双生性允许高效地进行等价性检查，且由于导数构造中的传递性性质，可实现早期终止。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造克莱尼代数的一种变体，避免在并发环境中由KAT引发的异常等式 p·e·p ≡ 0？
• RQ2 是否存在一种可靠且完备的等式理论，支持此类变体的条件分支与并发？
• RQ3 KAO表达式的等价性能否通过算法判定？若能，其计算基础是什么？
• RQ4 KAO的新框架与KAT在建模测试与并发程序执行之间交互方面有何不同？
• RQ5 能否使用自动机理论技术高效实现KAO的决策过程？

主要发现

• 本文证明了KAO的等式理论相对于基于非确定性有限自动机的语言模型是可靠且完备的。
• 它确立了KAO等价性可通过归约为NFA的语言等价性而判定，而NFA的语言等价性已被证明是可判定的。
• 该决策过程通过NFA上的合 congruence 上的双生性实现，且证明了此类双生性可被构造以验证等价性。
• 该框架通过区分观测合取与顺序复合，成功避免了在并发环境中困扰KAT的异常等式 p·e·p ≡ 0。
• 该方法实现了清晰的职责分离：KAO特有公理由导数和自动机构造处理，而标准克莱尼代数结果则被复用。
• 该方法具有可扩展性，为未来关于带观测的并发克莱尼代数（CKAO）的研究提供了基础，CKAO被推测由sp-pomsets的语言所刻画。