[论文解读] Kleinian Schottky groups, Patterson-Sullivan measures and Fourier decay

Jialun Li, Frédéric Naud+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 35被引用 4

一句话总结

本文在 PSL₂(ℂ) 中建立了 Zariski-稠密 Kleinian Schottky 群极限集上 Patterson-Sullivan 测度的多项式 Fourier 衰减，将 Bourgain-Dyatlov 在 Fuchsian 设置下的结果推广至完整 PSL₂(ℂ) 框架。通过基于 ℂ 上 Bourgain-Gamburd 和积定理的指数和估计，以及利用表示理论和平稳测度正则性证明的非集中条件，作者证明了该测度的 Fourier 变换在无穷远处呈多项式衰减，从而确认了这些分形集具有正 Fourier 维数。

ABSTRACT

Let $Γ$ be a Zariski dense Kleinian Schottky subgroup of PSL2(C). Let $Λ(Γ)$ be its limit set, endowed with a Patterson-Sullivan measure $μ$ supported on $Λ(Γ)$. We show that the Fourier transform $\widehatμ(ξ)$ enjoys polynomial decay as $\vert ξ\vert$ goes to infinity. This is a PSL2(C) version of the result of Bourgain-Dyatlov [8], and uses the decay of exponential sums based on Bourgain-Gamburd sum-product estimate on C. These bounds on exponential sums require a delicate non-concentration hypothesis which is proved using some representation theory and regularity estimates for stationary measures of certain random walks on linear groups.

研究动机与目标

• 在 PSL₂(ℂ) 中建立 Zariski-稠密 Kleinian Schottky 群极限集上 Patterson-Sullivan 测度的多项式 Fourier 衰减。
• 将 Bourgain-Dyatlov 在 Fuchsian 情形下的 Fourier 衰减结果推广至完整的 PSL₂(ℂ) 框架。
• 利用表示理论和正则性估计，证明线性群上平稳测度的非集中假设。
• 证明此类极限集具有正 Fourier 维数，从而提供 Salem 型集合的确定性例子。

提出的方法

• 利用 ℂ 上的 Bourgain-Gamburd 和积估计来控制与测度相关的指数和。
• 应用线性群上随机游动平稳测度的非集中条件，该条件通过表示理论和正则性估计得以证明。
• 在极限集上构造一列正函数 R_n，其一致趋于零，从而确保测度具有有限指数矩且为平稳测度。
• 使用 Cartan 分解将群元素的算子范数与几何半径 r_γ 关联，从而实现矩估计。
• 对极限集进行 dyadic 分解，划分为圆柱集，并应用递归构造来控制 R_n 值的比值。
• 利用经典的测地线覆盖论证，证明由平稳测度 ν 的支集生成的群等于全群 Γ。

实验结果

研究问题

• RQ1 PSL₂(ℂ) 中 Zariski-稠密 Kleinian Schottky 群的极限集是否允许具有多项式 Fourier 衰减的测度？
• RQ2 ℂ 上的和积估计能否被调整以控制非 Fuchsian 情形下 Patterson-Sullivan 测度的指数和？
• RQ3 线性群上平稳测度必须满足何种非集中条件，才能保证 Fourier 衰减？
• RQ4 当 |ξ| → ∞ 时，此类极限集上 Patterson-Sullivan 测度的 Fourier 变换是否一致有界于 |ξ| 的负幂次？
• RQ5 能否通过 Kleinian 群动力系统构造出具有正 Fourier 维数的确定性、非平凡分形集？

主要发现

• 极限集 Λ_Γ 上 Patterson-Sullivan 测度 μ 的 Fourier 变换满足 |ŵ(ξ)| = O(|ξ|^{-ε})，其中 ε > 0，且当 |ξ| → ∞ 时成立。
• 衰减速率 ε 仅依赖于测度 μ，隐含常数 C 依赖于邻域 𝒰、φ 的 C² 范数以及群 Γ。
• 和积论证所需的非集中假设通过表示理论和平稳测度的正则性估计得以验证。
• 对足够小的 ε₁ > 0，有 ∑ν(γ)‖γ‖^ε₁ < ∞，从而确保测度在群作用下行为良好。
• 由平稳测度 ν 的支集生成的群 Γ_ν 等于全群 Γ，确认测度在动力系统上完全支撑。
• 该构造产生一个平稳测度 ν，使得 1 = ∑ν(γ)f_γ 在 Λ_Γ 上成立，从而确认 Patterson-Sullivan 测度是 ν-平稳的。