[论文解读] KMS and ground states on ultragraph C*-algebras

Gilles G. de Castro, Daniel Gonçalves|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2017

Advanced Operator Algebra Research参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文通過多種等價描述（包括阿貝爾代數上的狀態、正則博雷爾概率測度、廣義頂點上的函數，以及核心子代數上的狀態）對滿足條件 (RFUM) 的超圖 C*-代數上的 KMS 和基態進行了表徵。該工作推廣了圖 C*-代數的已有結果，並證明了非 Exel-Laca 也非圖 C*-代數的超圖 C*-代數上 KMS 和基態的存在性。

ABSTRACT

We describe KMS and ground states arising from a generalized gauge action on ultragraph C*-algebras. We focus on ultragraphs that satisfy Condition~(RFUM), so that we can use the partial crossed product description of ultragraph C*-algebras recently described by the second author and Danilo Royer. In particular, for ultragraphs with no sinks, we generalize a recent result by Toke Carlsen and Nadia Larsen: Given a time evolution on the C*-algebra of an ultragraph, induced by a function on the edge set, we characterize the KMS states in five different ways and ground states in four different ways. In both cases we include a characterization given by maps on the set of generalized vertices of the ultragraph. We apply this last result to show the existence of KMS and ground states for the ultragraph C*-algebra that is neither an Exel-Laca nor a graph C*-algebra.

研究动机与目标

• 通過多種等價形式表徵滿足條件 (RFUM) 的超圖 C*-代數上的 KMS 和基態。
• 將已知的圖 C*-代數上 KMS 态的結果推廣至滿足條件 (RFUM) 的超圖 C*-代數。
• 展示非同構於 Exel-Laca 或圖 C*-代數的超圖 C*-代數上 KMS 和基態的存在性。
• 利用超圖 C*-代數的偏交叉積結構來分析時間演化與平衡態。

提出的方法

• 採用第二作者與 Royer 最近發展的超圖 C*-代數的偏交叉積描述。
• 利用超圖 C*-代數上的廣義譜作用，通過邊集上的函數定義時間演化。
• 通過五種等價描述表徵 KMS 态：C(X) 上的態、X 上的正則博雷爾概率測度、廣義頂點上的函數、核心子代數上的態，以及滿足條件 m1–m4 的映射 M。
• 通過四種等價描述表徵基態：阿貝爾代數上的態、其譜上的正則博雷爾概率測度、廣義頂點上的函數，以及滿足對所有 e 有 M(e)=0 的映射 M。
• 構造一個特定的超圖，使用可數無限的 0-1 矩陣 A 來定義一個既非 Exel-Laca 也非圖 C*-代數的 C*-代數。
• 通過構造廣義頂點上的函數 m，使其滿足 m1–m4（β > 0 時），驗證 KMS 態的存在性；通過設 m(v_i) = 0 且 m(B) + m({w}) = 1，驗證基態的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以多種等價方式表徵滿足條件 (RFUM) 的超圖 C*-代數上的 KMS 態？
• RQ2 在非同構於 Exel-Laca 或圖 C*-代數的超圖 C*-代數上，什麼條件能確保 KMS 態的存在性？
• RQ3 超圖 C*-代數上的基態如何與阿貝爾子代數譜上的測度以及廣義頂點上的函數相關？
• RQ4 能否利用超圖 C*-代數的偏交叉積結構，將 KMS 和基態以廣義頂點上的動力系統形式描述？
• RQ5 邊上的函數 N 在給定 β > 0 時，對 KMS 態的存在性與結構起何作用？

主要发现

• 在無 sink 且滿足條件 (RFUM) 的超圖 C*-代數上，KMS 態與阿貝爾代數譜 X 上某子集的正則博雷爾概率測度之間存在仿射雙射。
• KMS 態也與廣義頂點上滿足特定可 summability 和比例條件的函數之間存在仿射雙射。
• 基態由廣義頂點上的函數 m 表徵，其中對所有 i ∈ ℕ 有 m(v_i) = 0，且 m(B) + m({w}) = 1。
• 對於基於矩陣 A 構造的超圖 F，只要 ∑_{i=1}^∞ c_i^{-β} < ∞ 且 d_β 滿足 d_β^2 / (1 - d_β^2) ≤ 1/6，則對任意 β > 0，KMS 態均存在。
• 當 m({w}) ∈ [0,1) 滿足 m({w}) / (1 - m({w})) ≥ ∑_{i=1}^∞ c_i^{-β} 時，KMS 態的存在性得以保證，此時代數中 m(B) 和 m(v_i) 可遞歸確定。
• 基態空間非空，且精確由所有有限頂點投影測度為零、且測度集中於無限集 B 和頂點 w 的態組成。